Aprés avoir délivré dans l'équation à l'Ellipse, ou à 'Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation à la parabole, de toute quantité con. nue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en resultera sera une équation à la parabole, qui étant combinée avec la premiere par addition, ou soustraction, donnera une équation au cercle. Ainsi en divisant par a l'équation précedente cy-yy= 2xx+2bx, l'on a cy-yy=xx+bx, & mettant pour yy sa valeur ax, prise dans l'équation à la parabole I l'on aura キー 2 2 ax= xx+ ax=yy; bx, qui est une autre équation à la parabole ; & en combinant par addition ces deux équations à la parabole, l'on aura xx+bx+yy, qui est une équation au cercle. 2 Quoique l'on pût construire le Problême par le moyen de l'equation au cercle, & de la seconde équation à la parabole; il est neanmoins à propos de se servir de la premiere ax=yy, parcequ'elle appartient à la parabole donnée AM qui se trouve toute construite; c'est pourquoi il ne reste qu'à construire l'équation au cercle, afin que le Problême soit entierement résolu. L'équation au cercle étant réduite, donne avec les réductions, cette construction. Ayant pris AF = rallele BD &= c, & du centre G par A, l'on dé 4 crira un cercle qui coupera la parabole au point cherché M. DEMONSTRATION, A Y ANT joint GA, & mené GI parallele à AP, qui rencontrera PMen H, & la circonference du cercle en I, l'on aura par la proprieté du cercle, GA2 ou GỈ I 2 cy + I 16 I 4 66+ qui se réduit à xx+bx-ax=cy-yy. L'on a aussi par la proprieté de la parabole ax = yy, qui étant combinée par addition avec l'équation précedente donne xx + bx I +ax ax= 2 I 2 en mettant cy, ou 2xx+2bx=cy - yy (en pour ax sa valeur yy, en multipliant par 2, & transpolant) qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D. FIG. 92. 5. IL faut décrire un triangle CBD rectangle en B, dont on connoît le plus grand ED des deux fegmens de la base faits par la perpendiculaire BE, qui tombe de l'angle droit B fur la base CD, & la difference DF des côtez. Ayant suppose le Problême résolu, & nommé les données ED, a; DF, b; & lesinconnues EC, x; CB, ou BF, y; CD fera x+a; & BD, y+b; l'on aura à cause des triangles rectangles CEB, BED, CB2 - CE2= DB - DE2, & en termes algebriques yy - xx = yy +2by+bbaa, ou xx = aa- 2by- bb, qui est une équation à la parabole. A cause des triangles semblables DCB, BCE, l'on aura a + x (DC). y (CB) ::y. x (CE); donc yy = ax + xx, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere. Si l'on fait presentement évanouir l'une des deux inconnues, on aura une équation du qu atrićmedegré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second, montre quele Problême est solide. Or quoique les lignes exprimées par les deux incon. nues x & y, n'ayent point les qualitez dont il est parlé dans la premiere Obfervation de l'article 4. Neanmoins, parceque l'on peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du second degré où les deux inconnues ne sont point multipliées entr'elles, quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à la parabole, on peut par leur moyen construire le Problême, comme on va voir par cet exemple. La seconde équation yy = ax + xx donne xx =yyax, & mettant cette valeur de xx dans la premiere équation xx = aa - 2by - bb, qui est à la parabole, l'on aura yy - ax = aa bb, qui est une autre équation à la parabole ; & en ajoutant les deux premiers & les deux seconds membres de ces deux équations à la pa 2by ax244 4by 266, rabole, l'on aura xx + yy & y +2b=a; l'on aurazzaa+2bb-uu, qui avec 4 les réductions fournit cette conftruction. Soit le point A l'origine des inconnues x qui va Fic. 93, و vers G, &y qu'on suppose perpendiculaire à AG; & qui va en haut. A cause de la premiere réduction x 2 I a 2 = 2, on prendra AR= a, & ayant mené par R la = ax + aa pour la réduire y+b=s, & x+=t, & l'on aura s = at, qui donne avec ses réductions cette construction, A cause de la seconde réduction x+a=t, l'on prolongera AG du côte de A en H, en forte que AH=a, & ayant mene HK perpendiculaire à AH; à cause de la premiere réduction y+b=/; on prendra HK=b, l'on menera KS parallele à AG, & l'on décrira (art. 10 n°. 11) sur l'axe KS, dont le sommet est K, une parabole par le moyen de l'équation réduite ff=at. Cette parabole coupera le cercle en deux points M & N, de ma F1 6. '92, niere qu'ayant abaissé des points M & Nles perpendicu. 93. laires MP, NQ; PM sera la valeur positive de y=CB; NO, sa valeur negative; & AP,la valeur de x = EC. De forte que si l'on fait EC=AP, & qu'on décrive sur le diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté CB=PM, & mené BD, le triangle CBD sera celui qu'il falloit décrire, DEMONSTRATION. AY YANT joint IH & mené par le centre o le diame tre VOT parallele à AG qui rencontrera MP prolongée en X de part ou d'autre du point O. Par la construction, & par la proprieté du cercle, l'on aura IH2, ou or2, ou OT2-0X = XM2, ou en termes algebriques aa 4 4 +266-xx+axaayy+4by+4bb, ou zaaxx+ax=yy+4by + 266. Parla proprieté de la parabole KM dont le parametre esta, l'on aura a × KL=LM2, ou ax + aa=yy + 2by + bb, ou en soustrayant la seconde équation de la premiere, le premier membre du premier; & le second du second, l'on aura aa-xx=2by+bb, qui est la premiere équation du Problême, & en soustrayant cette equation de la précedente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax + xx yy, qui est la seconde équation du Problême. C. Q. F. D. SECTION Χ. Où l'on donne la Méthode de construire les Problêmes Solides par le moyen de leurs équations déterminées ; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du troisième, & du quatrième degré. XXIV. МЕТНODE. OIT ait employé deux ou plusieurs lettres inconnues, ou ou qu'on n'en ait employé qu'une pour résoudre un Problême, quand on est venu à une équation déterminée du troisième ou du quatriéme degré, qui ne peut être réduite à une équation du fecond, le Probleme est necessairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours construire par le moyen de cette équation, en observant les régles qui suivent. 1. Si l'équation a un second terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait. 2. Si l'équation est du troisieme degré, on la mul tipliera par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatriéme. 3. On trouvera une équation à la parabole dont un des membres sera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut construire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plûtôt par une des lettres connues qui se trouve le plus frequemment dans l'équation à construire : car par ce moyen on rend la construction un peu plus simple. |