Aprés avoir délivré dans l'équation à l'Ellipse, ou à l'Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation à la parabole, de toute quantité connue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en refulterà fera une équation à la parabole, qui étant combinée avec la premiere par addition, ou fouftraction, donnera une équation au cercle. Ainfi en divisant par 2 l'équation précedente cy—yy= 2xx+2bx, l'on a — cy ——yy=xx+bx, & mettant pour yy sa valeur ax, prise dans l'équation à la parabole ax=yy; l'on auracy—— ax = xx+ bx, qui est une autre équation à la parabole ; & en combinant par addition ces deux équations à la parabole, l'on aura

I

I

2

— cy — — ax+ax=xx+bx+yy, ou—cy + ——ax xx+bx+yy, qui eft une équation au cercle.

=

Quoique l'on pût conftruire le Problême par le moyen de l'équation au cercle, & de la feconde équation à la parabole; il est neanmoins à propos de fe fervir de la premiere ax=yy, parcequ'elle appartient à la parabole donnée AM qui fe trouve toute conftruite; c'eft pourquoi il ne refte qu'à conftruire l'équation au cercle, afin que le Problême foit entierement résolu.

L'équation au cercle étant réduite, donne avec les réductions, cette construction.

Ayant pris AF I b

-

I

— a on menera FG pa

rallele BD &=c, & du centre G par A, l'on dé

c,&

crira un cercle qui coupera la parabole au point cher

ché M.

DEMONSTRATION,

AYANT Y A N T joint GA, & mené GI parallele à AP, qui rencontrera PM en H, & la circonference du cercle

en I, l'on aura par la proprieté du cercle, GA ou GỈ —- GH2=HM2, ou en termes algebriques bb

ab

16.

I

I

ax

16 aa=yy — — cy + —/cc, qui se réduit à

xx + bx — — ax =

prieté de la parabole ax

cy-yy. L'on a auffi par la pro

yy, qui étant combinée par addition avec l'équation précedente donne xx + bx

2

I

ax= cy, ou 2xx+2bx=cy—yy (en mettant

2

pour ax fa valeur yy, en multipliant par 2, & tranfpofant) qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q.F.D.

FIG. 92. 5.

Il faut décrire un triangle CBD rectangle en B, dont on connoit le plus grand ED des deux fegmens de la base faits par la perpendiculaire BE, qui tombe de l'angle droit B fur la bafe CD, & la difference DF des côtez.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les données ED, a; DF, b; & les inconnues EC, x; CB, ou BF, y ; CD fera x+a; & BD, y+b; l'on aura à cause des triangles rectangles CEB, BED, CB2 — CF2 DB2 DE', & en termes algebriques yy +2by+bb. -aa, ou xx = aa 2by bb, qui eft une équation à la parabole.

-

=

=yy

A caufe des triangles femblables DCB, BCE, l'on aura á + x (DC ) . y (CB) ::y. x (CE); donc yy = ax + xx, qui eft une équation à l'Hyperbole équilatere.

Si l'on fait prefentement évanouir l'une des deux inconnues, on aura une équation du qu atriémedegré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second, montre que le Problême eft folide.

Or quoique les lignes exprimées par les deux inconnues x &y, n'ayent point les qualitez dont il est parlé dans la premiere Obfervation de l'article 4. Neanmoins, parceque l'on peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du fecond degré où les deux inconnues ne font point multipliées entr'elles, quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à la parabole, on peut par leur moyen conftruire le Problême, comme on va voir par cet exemple.

=yy

La feconde équation yyax + xx donne xx= ax, & mettant cette valeur de xx dans la premiere équation xx = aa — 2by — bb, qui est à la parabole, l'on aura yy ax = aa 2by-bb, qui eft une autre équation à la parabole; & en ajoutant les deux premiers & les deux feconds membres de ces deux équations à la parabole, l'on aura xxyyax = 2aa — ·4by 266 2bb, ou xx―ax = ax ✦yy ✦4by — 2aa — 266, qui est une équation au cercle.

I

Pour réduire cette équation, soit fait x-acz

& y+2b=#; l'on aura z=— aaabb-uu, qui avec les réductions fournit cette conftruction.

4

Soit le point A l'origine des inconnues x, qui va FIG. 93, vers G, &y qu'on fuppofe perpendiculaire à AG, & qui

va en haut. A cause de la premiere réduction x ——

I

2

a

, on prendra AR= a, &ayant mené par R la perpendiculaire RO; à caufe de la feconde réduction y +26=u, l'on prendra RO2b; & le point o fera le centre du cercle qu'il faut décrire; à caufe de 2bb, on prendra RI moyenne proportionnelle entre 2b, & b ; & du centre 0, & du rayon 14, l'on décrira un cercle. Pour conftruire prefentement l'une des deux équations à la parabole, par exemple la feconde yy aa-zby—bb, → 2by —bb, ou yy + 2by axaa — bb; foit fait

ax==

l'on pro

pour la réduire y+ b=f,&x+a=t, & l'on aura s at, qui donne avec fes réductions cette construction, A caufe de la feconde réduction xat, longera AG du côte de A en H, en forte que AHa, & ayant mené HK perpendiculaire à AĤ; à cause de la premiere réduction y+b; on prendra HK=b, l'on menera KS parallele à AG, & l'on décrira (art. 10 n°. 11) fur l'axe KS, dont le fommet est K, une parabole par le moyen de l'équation réduite =at. Cette parabole coupera le cercle en deux points M & N, dễ maFIG. 92, niere qu'ayant abaiffé des points M & Nles perpendicu 93. laires MP, NQ; PM fera la valeur pofitive de y=CB; NQ,fa valeur négative; & AP,la valeur de x=EC. De forte que fi l'on fait EC= AP, & qu'on décrive fur le diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté CB=PM, & mené BD, le triangle CBD fera celui qu'il falloit décrire,

Ax

DEMONSTRATION.

YAN T joint IH &mené par le centre O le diame. tre VOT parallele à AG qui rencontrera MP prolongée en de part ou d'autre du point O. Par la construction, & par la proprieté du cercle, l'on aura IH', ou Ov2, ou 072—0X2=XM2, ou en termes algebriques aa

4

4

+2bb — xx+ax— — aa—yy+4by+4bb, ou raa—xx+ax=yy+4by + 266.

Par la proprieté de la parabole KM dont le parametre efta, l'on aura a x KL=LM', ou axaa=yy + 2by +bb, ou en fouftrayant la feconde équation de la premiere, le premier membre du premier; & le fecond dụ fecond, l'on aura aa-xx-2by+bb, qui eft la premiere équation du Problême, & en fouftrayant cette équation de la précedente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax+xxyy, qui eft la feconde équation dụ Problême. C. Q. F. D.

SECTION X.

Où l'on donne la Méthode de conftruire les Problêmes Solides

par le moyen de leurs équations déterminées; ou ce qui eft la même chofe, de conftruire les équations déterminées du troifiéme, & du quatriéme degré.

METHOD E.

XXIV. OI T qu'on ait employé deux ou plufieurs lettres inconnues ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on est venu à une équation déterminée du troifiéme ou du quatrième degré, qui ne peut être réduite à une équation du fecond, le Problême eft neceffairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours conftruire par le moyen de cette équation, en obfervant les régles qui fuivent.

1. Si l'équation a un fecond terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait.

2. Si l'équation eft du troifiéme degré, on la mul. tipliera par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatrième.

3. On trouvera une équation à la parabole dont un des membres fera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut conftruire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plûtôt par une des lettres connues qui fe trouve le plus frequemment dans l'équation à conftruire :car par ce moyen on rend la construction un peu plus fimple.