mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par fon moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux, & inégaux, des proportions, & des progressions geometriques.

2°. L'on remarquera aussi qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez desraports, proportions, & progressions arithmetiques. 3o. Que l'équation qui exprime la consequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus fimples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle eft capable de recevoir.

Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser, & extraire les racines des raports, ou fractions.

ADDITION, ET SOUSTRACTION.

43. Pour les ajouter, on les écrira de suite sans changer aucun signe; & pour les soustraire, on les écrira de fuite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que leur dénominateur soit le même, ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur; & aprés avoir réduit (art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs semblables, on prendra pour la somme, ou pour la difference, celles des deux exprefsions qui sera la plus fimple.

ou aprés les avoir réduites en même dénomination,

aab+a+bb-aab
a-2aa6b+6+

a4bb

=(art. 1. n°. 11.) qui est une expression plus simple que la premiere. Pour foustraire ab de

ab

nateur

aa-bb

l'on écrira

aa-bb

C

, ou, aprés leur avoir donné un même dénomi

aac-bbc

est la plus simple.

MULTIPLICATION.

44.0 N multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l'un par l'autre ; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple.

bp, & la fecon

La premiere supposition donne ac de, bc=dq; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) abcc = bdpq;

cd

De même ab x6+, ou (Theor. 3. Coroll. 3.) bbcd_abs + abcd_abb+acd, en divisant les deux

de de deux deux raports raports differens &,

est appllé raport composé, ou raison composée ; & le produit

d'un raport, multiplié par lui-même, est appellé

*

46. Le produit du numerateur du dividende par le dénominateur du diviseur sera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur, sera le dénominateur du quotient. On réduira ensuite le quotient à son expression la plus fimple.

La premiere supposition donne ab = cp; la seconde,

tipliant chaque membre parb, & divisant chaque membre parc,

abb
acc

P 9 ac

bb

60

C. Q. F. D.

De même divisé par d, ou par

EXTRACTION.

Des racines des quantitez fractionnaires.

47.IL est clair par les regles de la multiplication des fractions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à ex. traire celle du numerateur, & celle du dénominateur & ces deux racines formeront une fraction, qui sera la

racine de la proposée. Ainsi v

Il en est ainsi des autres.

8abbc

46cc

:

bVzac

Les mêmes operations sur les fractions irrationelles

n'ont rien de particulier.

Fin de Introduction.

APPLICATION

DE

L'ALGEBRE

A

LA GEOMETRIE.

SECTION PREMIERE.

Où l'on donne les définitions & les principes generaux qui servent pour resoudre les Problèmes, démontrer les Theorémes de Geometrie.

I.

DEFINITIONS.

L y a deux fortes de propositions dans la Geometrie, ausquelles on peut appliquer l'Algebre, qui font les Theorêmes & les Problêmes.

1. Les Theorêmes sont des propofitions qui contiennent des veritez Geo.

metriques qui ne dépendent d'aucune operation, & qu'il faut seulement démontrer.

: A

2. Les Problêmes font d'autres propofitions qui demandent que l'on fasse quelqu'operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite, fatisfait à la question. Ce qui s'appelle refoudre le Problême.

Il y a des Problêmes déterminez, & d'autres indéter

minez.

3. Les Problêmes déterminez sont ceux qui n'ont qu'une feule solution, ou qu'un nombre déterminé de solutions. Si l'on propose, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Problême ne peut avoir qu'une seule solution; mais fi

FIG. 1. l'on propose de couper une ligne donnée AB en un point C, en forte que le rectangle AC × CB soit égal au quarré d'une autre ligne donnée E F; il est clair que que ce Problême peut avoir deux solutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage: car si aprés avoir trouvé le point C qui fatisfait à la question, on la coupe encore en un autre point D qui soit autant éloigné de A que C l'est de B, le rectangle AD × DB sera égal au rectangle ACCB puisque AD=CB, & AC=DB. Il est aisé de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puisse fatisfaire au Problême.

FIG. 2,

4. Les Problêmesindéterminez sont ceux qui ont une infinité de solutions: comme si l'on propose de diviser une ligne donnée en deux parties sans y admettre aucune autre condition, il est évident que tous les points de cette ligne fatisfont au Problême. De même si l'on propose de trouver deux lignes dont le rapport soit égal à celui de deux autres lignes données ; l'on voit évidem. ment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prises d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toûjours entr'elles le même rapport. Semblablement 5. Si l'on demande de trouver un point B sur la circonference d'un demi cercle ABC, en sorte que la perpenculaire BH, menée du point cherché B sur le diametre AC foit moyenne proportionnelle entre les parties AH &HC du diametre AC. On sçait que tous les points de la