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mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'ufage de notre principe, & que par fon moyen, on peut démontrer d'une maniere qui eft toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux, & inégaux, des proportions, & des progreffions geometriques.

2o.L'on remarquera auffi qu'en fuivant le même principe, l'on démontrerà avec la même facilité toutes les proprie tez desraports,proportions,& progreffions arithmetiques. 3°. Que l'équation qui exprime la confequence ou la verique l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de fignes radicaux, & réduite à fes plus fimples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothefe: car une équation étant vraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle eft capable de recevoir.

Il s'agit prefentement d'ajouter, fouftraire, multiplier, divifer, & extraire les racines des raports, ou fractions.

ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. POUR les ajouter, on les écrira de fuite fans changer aucun figne; & pour les fouftraire, on les écrira de fuite en changeant les fignes de celles qui doivent être fouftraites, foit que leur dénominateur foit le même, ou non. On leur donnera enfuite un même dénominateur; & aprés avoir réduit (art. 1. n°. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs femblables, on prendra pour la fomme, ou pour la difference, celles des deux expreffions qui fera la plus fimple,

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qui eft une expreflion plus fimple que la premiere.

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bb

bb

l'on écrira

C

ab , ou, aprés leur avoir donné un même dénomi

C- d

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44.ON multipliera les numerateurs, & enfuite les dénominateurs l'un par l'autre ; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à fon expreffion la plus fimple.

bc

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Soit à multiplier par 2. Ayant supposé —=p, &

= q.

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ACC

Il faut prouver que abc = pq = "55. La premiere fuppofition donne ac= - bp, & la feconde, be=dq; donc (Axio. 1. Coroll. 1. ) abcc = bdpq ; donc (Axio. 1. Coroll. 5.) =pq= C. Q. F. D.

ab

abcc

abc

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De même x

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C

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termes par b. Par la même raison 4 x d, on

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d

abd

de deux raports differens &

eft appllé raport compofe, ou raifon compofée ; & le produit

aa

bb

d'un raport, multiplié par lui-même, eft appellé raport doublé, ou raifon doublée.

DIVISION.

46. Le produit du numerateur du dividende par le dénominateur du divifeur fera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur, fera le dénominateur du quotient. On réduira ensuite le quotient à fon expreffion la plus fimple.

ab

Soit proposé le rapport à diviser par #. Ayant

ab

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supposé * = p, & # = q. Il faut prouver que

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La premiere supposition donne ab = cp ; la feconde, ac⇒bq ; donc (Axio. 1. Coroll. 1.), ou,en multipliant chaque membre parb, & divifant chaque membre

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ac

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AC

De même & divisé par d, ou par —, donne

b

EXTRACTION.

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Des racines des quantitez fractionnaires. 47.IL eft clair par les regles de la multiplication des fractions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur, & celle du dénominateur & ces deux racines formeront une fraction, qui fera la Sabbe 2by2ac

racine de la proposée. Ainsi ✔ 4bcc

Il en est ainsi des autres.

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Les mêmes operations fur les fractions irrationelles

n'ont rien de particulier.

Fin de Introduction.

APPLICATION

DE

L'ALGEBRE

A

LA GEOMETRIE

SECTION PREMIERE.

Où l'on donne les définitions les principes generaux qui fervent pour refoudre les Problèmes,

1.

démontrer les Theoremes de Geometrie.

DEFINITIONS.

L y a deux fortes de propofitions dans la Geometrie, aufquelles on peut appliquer l'Algebre, qui font les Theorêmes & les Problêmes.

I. Les Theorêmes font des propofitions qui contiennent des veritez Geometriques qui ne dépendent d'aucune operation, & qu'il faut feulement démontrer.

A

2. Les Problêmes font d'autres propofitions qui demandent que l'on faffe quelqu'operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite, fatisfait à la queftion. Ce qui s'appelle refoudre le Problême.

Il y a minez.

des Problêmes déterminez, & d'autres indéter

3. Les Problêmes déterminez font ceux qui n'ont qu'une feule folution, ou qu'un nombre déterminé de folutions. Si l'on propofe, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Problême ne peut avoir qu'une feule folution; mais fi FIG. 1. l'on propofe de couper une ligne donnée AB en un point C, en forte que le rectangle AC CB foit égal au quarré d'une autre ligne donnée E F; il eft clair que que ce Problême peut avoir deux folutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage : car fi aprés avoir trouvé le point C qui fatisfait à la question, on la coupe encore en un autre point D qui foit autant éloigné de A que C l'eft de B, le rectangle AD × DB fera égal au rectangle AC CB puifque AD=CB, & AČ=DB. Ileft aifé de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puiffe fatisfaire au Problême.

4. Les Problêmesindéterminez font ceux qui ont une infinité de solutions: comme fi l'on propose de diviser une ligne donnée en deux parties fans y admettre aucune autre condition, il eft évident que tous les points de cette ligne fatisfont au Problême. De même fi l'on propofe de trouver deux lignes dont le rapport foit égal à celui de deux autres lignes données; l'on voit évidemment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prises d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toûjours entr'elles le même rapport. Semblablement FIG. 2. 5. Si l'on demande de trouver un point B fur la circonference d'un demi cercle ABC, en forte que la perpenculaire BH, menée du point cherché B fur le diametre AC foit moyenne proportionnelle entre les parties AH &HC du diametre AC.On fçait que tous les points de la

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