4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construire dans le premier & dans le troifiéme terme: (car on fuppofe qu'elle n'en a point de fecond) en fubftituant en fa place, fa valeur prife dans l'équation à la parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera fera une autre équation à la parabole. 5. On combinera par addition ou fouftraction ces deux équations à la parabole, de maniere que l'équation qui en résulte foit une équation au cercle. 6. On conftruira l'équation au cercle, & la plus fimple des deux équations à la parabole, comme dans la Section précedente, en fuppofant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les Interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant pofitives que négatives de l'inconnue de l'équation à construire. Tout ceci fera éclairci par les exemples qui fuivent. EXEMPLE I. Problême Solide. 7. TROUVER une ligne dont le cube foit au cube d'une ligne donnee CD, dans la raifon donnée de m à n, Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a ; & l'inconnue x, l'on aura par la condition du Problême x3, a3 :: m, ทา ma3 d'où l'on tire x3= ? qui est une équation du troifiéme degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du fecond; il fuit que le Problême eft Solide. En multipliant cette équation par x, l'on aura x* ma3x & faifant (no 3) ay=xx, qui est une équa n tion à la parabole, l'on a aayy=x+; & mettant dans l'équation à construire pour x fa valeur aayy, l'on 1 tion à la parabole. Et combinant ces deux équations à la parabole par addition ou fouftraction, l'on aura yy ay n xx, qui est une équation au cercle dont la construction jointe avec celle de l'équation à la parabo. le ay xx, réfoudra le Problême. Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, F1 G. 94. & x qui lui eft perpendiculaire. Et foit décrite (art. 10 n°.11) fur l'axe AG dont le fommet eft A la parabole AH, dont le parametre foit a= AB. Cette parabole fera celle dont l'équation eft ay=xx. L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction. ma Ayant pris fur AG, AI=—a=— CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale & du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que MP expri 228 mai n que mée par x qui eft l'inconnue de l'équation x3 DEMONSTRATIO N. AYANT qui eft en termes algebriques I mmaa →yy+ay— 4nn ad = xx max mmad qui devient ay-yy = Mais à cause de la parabole l'on a (art. 10 ) ay=xx ; donc yy = yy= AA ; mettant donc dans l'équa- FIG. 95. tion précedente pour ay, fa valeur xx, & pour yy, fa x+ valeur l'on aura aprés les réductions ordinaires x3 8. DIVISER un arc de cercle BDEC en trois parties égales BD, DF, FC.. Ayant fuppofe le Problême réfolu; puifque par l'Hypothese les arcs BD, DF, FC font égaux, les cordes BD, FD, FC feront auffi égales, & DF fera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & outre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles ADB, ADF, AFC feront égaux, femblables & isofceles, comme auffi les triangles BHD, CKF: car l'angle CFK (= KFD=AKH) = CKF. Par la même raison l'angle BDH= l'angle BHD; c'est pourquoi, puifque (Hyp.) CF = DB; ČK fera =BH. Mais les triangles ACF, CFK, FKI, font auffi semblables & ifofceles: car à caufe des paralleles AD, IF‚l'angle KIF (BHD)=IKF=KFC FCA. En nommant prefentement le rayon AC, a ; la don née BC, b; & l'inconnue CF, ou CK, ou IH, ou HB, x; l'on aura AC ( a ). CF ( x ) :: CF(x). FK= * & CF (x). FK xx A xx :: FK ( * ). KI==, donc CI = ; & partant CBIB+CI=2x+x— bi d'où l'on tire x3 = zaax — aab, qui eft une équation du troifiéme degré,& qui ne pouvant être réduite à une équa tion du fecond, fait connoître que le Problême eft folide. Pour le conftruire, foit premierement l'équation précedente multipliée par fon inconnue x, & l'on aura x+ =3аaxx aabx; & ayant fait ay=xx, l'on aura aayy x4. Mettant donc dans l'équation du Problême, pour x+, & pour xx, leurs valeurs aayy, & ay; l'on aura après avoir divifé par aa, yy =3ay-bx, qui est une autre équation à la parabole. Et en combinant par addition ou souftraction, ces deux équations à la parabole, l'on aura aprés la réduction yy-4ay——xx — bx, qui eft une équation au cercle, dont la conftruction jointe avec celle de l'équation à la parabole ay=xx, réfoudra le Problême. Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, & perpendiculaire à AG qui va vers B, & foit décrite (art. io no 11 ) fur l'axe AG, dont le fommet soit A, la parabole AH dont le parametre foit a = ( Fig. 95 ) AC.Cette parabole fera celle dont l'équation eft ay=xx. L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette conftruction. Soit prife AI=2a= = (Fig. 95) 2 AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG & = b = — BC, l'on décrira du centre K par A, un cercle AMNF qui cou pera la parabole aux points A, M, N, F, parmi lesquels il y en à trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendiculaires MP, NO, FE fur l'axe AG de la parabole, qui font les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême, deux defquelles PM, & QN font pofitives, & la troifiéme EF, negative, de forte que PM fera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il falloit divifer; & QN, la corde du tiers du refte du cercle BVC. PAR DEMONSTRATION. AR la proprieté de la parabole l'on a (art. 10) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKR parallele à AG; l'on aura par la proprieté du cercle KĄ2, ou KR2 — KT2 = TN', ou KZ1— KX2=XM2, ou en termes algebriques, 4a4+ — bb— yy ✈ 4ay — 4aa — FIG. 95. 96. I xx + bx+ — bb, ou qay — yy=xx+ bx; & en remet AA tant pour ay, & pour jy leurs valeurs xx, & prifes dans l'équation à la parabole ay=xx, l'on aura › apré les réductions, x3— zaax — aab.C. Q. F. D. REMARQUE I. 9.S'IL y avoit un fecond terme dans l'équation que l'on vient de conftruire, il auroit fallu avant toutes chofes le faire évanouir; & alors l'inconnue x, qui exprime la corde CF (Fig. 95), ne fe feroit plus trouvée dans l'équation à construire; c'eft pourquoi les perpendiculaires PM, QN, ne feroient égales aux cordes du tiers des arcs BFC, BVC, qu'aprés les avoir augmentées ou diminuées de la quantité connue de l'équation qui auroit servi à faire évanouir le second terme ; ce qui n'auroit apporté aucune difficulté. REMARQUE II. FIG. 96. 10.LES valeurs pofitives de x, PM & QN font ensemble égales à la négative EF. Ce que je démontre en cette forte. On les prolongera en forte qu'elles rencontrent le cercle en Z, S & H, & le diametre ZR en X, T & O. Ayant nommé le parametre AB de la parabole AM, a; la corde AG, qui eft l'axe de la même parabole, b; IK, ou PX, ou EO, c ; PM, x ; QN, y ; & FE, z; PL seFa, 26+ 2; QS, 26+y; & EH, 2—2c.AP fera (art. 10) **; AQ, ; AE, ; & partant PG, b— — ; QG, yy وو DEMONSTRATION. L'ON a par la proprieté du cercle. xx z. AQ × QG=abyy —=2cy+yy=NQ × QS. AA |