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4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construire dans le premier & dans le troisiéme terme: ( car on suppose qu'elle n'en a point de second ) en substituant en la place,

sa valeur prise dans l'équation à la parabole que l'on a formée , & l'équation qui en résultera sera une autre équation à la parabole.

s. On combinera par addition ou soustraction ces deux équations à la parabole, de maniere que l'équation qui en résulte soit une équation au cercle.

6. On construira l'équation au cercle , & la plus fim. ple des deux équations à la parabole, comme dans la Section précedente , en supposant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit , & les Intersections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant positives que négatives de l'inconnue de l'équation à construire. Tout ceci sera éclairci par les exemples qui suivent.

EXEMPLE I.

Problême Solide. 7.

TROUV E R une ligne dont le cube foit an cube d'une ligne donnee CD, dans la raison donnée de m à n,

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a ; & l'inconnue x,

la condicion du Problême x} .a? :: m, n, d'où l'on tire x' = qui est une équation du troisiéme degré, qui ne pouvant être réduire à une équation du second ; il suit que le Problème est Solide. En multipliant cette équation par x,

l'on aura ** & faisant (n° 3 ) ay=xx , qui est une équa

3 tion à la parabole , l'on a aayy=x+ ; & mettant dans l'équation à construire pour ** sa valeur

aayy

l'on qui est une autre équa.

tion

l'on aura

aura par

ma3

mai x

maix

mar

qura aayy

ou jy =

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n

=

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tion à la parabole. Et combinant ces deux équations à
la parabole par addition ou soustraction , l'on aura yy –
ay= xx, qui est une équation au cercle dont la
construction jointe avec celle de l'équation à la parabo.
le ay = xx, résoudra le Problême.

Soit le point A l'origine des inconnues y qui va versG, F16.94.
&x qui lui est perpendiculaire. Et soit décrite ( art. 10
no.11) sur l'axe AG dont le sommer est A la parabole AH,
dont le parametre soit a= AB. Cette parabole sera
celle dont l'équation est ay = xx.

L'équation au cercle étant réduite donnera avec les
réductions cette construction.

Ayant pris sur AG, AI=_a=CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG& égale

& du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menerà la droite MP parallele å IK ; je dis que MP exprimée par x qui est l'inconnue de l'équation x=

que
l'on vient de construire, est le côté dụ cube qu'il fal.
loit trouver.

DE'MONSTRATIO N.
A YANT

YANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui
rencontrera le cercle en R, & PMen 0. L'on a par

la proprieté du cercle, KĄ, ou KR" ---KO=OM,ce qui est en termes algebriques

yytay

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mal

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mmAA aat

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max

Xx

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n

Mais à cause de la parabole l'on a (art. 10 ) ay = xx ; donc yy= ; mettant donc dans l'équa

Сс

1

tion precedente pour ay , sa valeur xx, & pour yy, yaleur l'on aura aprés les réductions ordinaires x'=

la

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=

Problême Solide. Fig. 95. 8.

DIVISER un arc de cercle BDEC en trois parties égales BD , DF, FC.

Ayant suppose le Problême résolu ; puisque par l'Hypothese les arcs BD, DF, FC lont égaux, les cordes: BD, FD, FC seront aussi égales , & DF sera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB , AD, AF, AC, & outre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles ADB , ADF, AFC seront égaux, lemblables & isosceles, comme aussi les triangleš BHD, CKF : car l'angle CFK (= KFD= AKH)= CKF. Par la même raison l'angle BDH=l'angle BHD; c'est pourquoi, puisque (Hyp. ) CF = DB; CK sera = -BH. Mais les triangles ACF, CFK, FKI, sont aussi semblables & isosceles: car à cause des paralleles AD, IF, l'angle KIF(=BHD)= IKF=KFC =FCA.

:

-
En nommant presentement le rayon AC, a;

la don. née BC,b; & l'inconnue CF, ou CK , ou IH, ou HB, *; l'on aura AC (a). CF (*):: CF(*). FK=**,&CF.

)=
*
:: =

=

CI = ; & partant CB=IB+CI=2x+xd'où l'on tire x'= 3aax -- aab, qui est une équation du

} Croisiéine degré,& qui ne pouvant être réduite à une équation du second,

fait connoître que le Problême est solide. Pour le construire, soit premierement l'équation précedente multipliée par son inconnue x,

:

(x). FK ) : FK (*).KI, donc ci=

(

**

AA

X

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AA

>

son inconnue x , & l'on aura x4 =3aaxx --aabx ; & ayant fait ay=xx,

l'on aura aayy

l'on au

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FIG. 952

96.

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=x4. Mettant donc dans l'équation du Probleme,
pour x+,

&
pour xx,
leurs valeurs

aayy, & ay;
ra après avoir divisé par aa , yy=zay—bx, qui est une
autre équation à la parabole. Er en combinant par

addition ou soustraction , ces deux équations à la parabole, l'on aura apres la réduction yy — 4ay=-xx - bx, qui est une équation au cercle , dont la construction jointe avec celle de l'équation à la parabole ay = xx, réloudra le Problême.

Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, &x perpendiculaire à AG qui va vers B, & soit décrire ( art. 10 n° 11 ) sur l'axe AG, dont le sommet soit A, la parabole AH dont le parametre soit a=(Fig. 95 ) AC.Cette parabole sera celle dont l'équation est ay=xx.

L'équation au cercle étant réduite , donnera, avec les réductions, cette construction. Soit prise AI=2a=(Fig. 95) 2 AC, & ayant élevé

2 IK perpendiculaire à AG &=+b=BC, l'on dés crira du centre K par A, un cercle AMNF qui cou. pera la parabole aux points A, M, N, F, parmi lesquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendiculaires MP,NQFE sur l'axe AG de la parabole, qui sont les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême , deux desquelles PM,& QN sont positives , & la troisième EF, negative, de sorte que PM fera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il falloit diviser ; & QN, la corde du tiers du reste du cercle BVC.

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DEMONSTRATION. Par la proprieté de la parabole l'on a (art. 10 ) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre zků parallele à AG ;l'on aura par la proprieté du cercle K A, ou KR - KT=TN, ou kz- — KX=XM, ou en

=Kz termes algebriques, faa+ 66—3y + 4ay

bbyy 4aa

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*x+bx+bb, ou day — yy=xx+ bx ; & en remettant pour ay , & pour yy leurs valeurs xx , & prises dans l'équation à la parabole ay 5xx, l'on aura' apré. les réductions, x= : 3aax aab.c. Q. F. D.

REMARQUE I. 9.S'il y avoit un second terme dans l'équation que l'on vient de construire, il auroit fallu avant toutes choses le faire évanouir; & alors l'inconnue x, qui exprime la corde CF(Fig. 95), ne fe seroit plus trouvée dans l'équation à construire ; c'est pourquoi les perpendiculaires PM,QN, ne seroient égales aux cordes du tiers des arcs BFC,BVC, qu'aprés les avoir augmentées ou diminuées de la quantité connue de l'équation qui auroit servi à faire évanouir le second terme ; ce qui n'auroit apporté aucune difficulté.

REM A R QUE II. F16. 96. 10. Les valeurs positives de x, PM& QN sont ensemble

égales à la negative EF. Ce que je démontre en cette sorte. On les prolongera en sorte qu'elles rencontrent le cercle en L, S&H , & le diametre ZR en X, T & O. Ayant nommé le parametre AB de la parabole AM,a; la corde AG , qui est l'axe de la même parabole , 6; IK, ou PX, ou EO,C; PM,*; QN,y;& FE, K; PL sera, 26+ X; QS, 26+y; &EH, 2— 20.AP sera ( art. 10) * ; AQ,";AE, ; & partant PG,6- -; QG, bm; EG, 6

'

DEMONSTRATION.
On a par la proprieté du cercle.
I. APXPG=

20% + xx=MP X PL.

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XX

уу

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XX

,

A

уу

A

L'on a par

abxx

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х

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2. AQXQG=abyy1 = 20+ yy=NQxQS.

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