Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors]

3. AEX EG ab?? — *

AA

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

= => 20%= HEX EF. On tire de la premiere équation, ab=

& fubftituant cette valeur de ab dans la seconde & troisième, l'on aura aprés les réduc. tions xy + 2aacy =y}x+zaacx, & x12 + 2aack=z\x2acx, d'où l'on tire zaac = xyy + xxy, & zaác=xzzxxx; donc yy x2

99+xy=z— x3, d'où l'on tire x=7, donc x+y=C. Q.F.D.

+y2. On démontreroit de même que, si le cercle coupoit la parabole en quatre points, les ordonnées qui parti_ roient des points d'Intersection d'un côté de l'axe seroient ensemble égales aux ordonnées qui partiroient des points d'Intersection de l'autre côté de l'axe. Soit qu'il en eût deux d'un coté, & deux de l'autre, ou trois d'un côté , &une de l'autre.

Ce seroit encore la même chose , fi le cercle touchoit la parabole d'un côté de l'axe , & la coupoit en deux points de l'autre côté : car le point touchant doit être regardé comme deux points d'Intersection infiniment proches. Ainsi, le double de l'ordonnée qui partiroit du point touchant , seroit égal à la somme des deux ordonnées qui partiroient des deux points d'Intersection qui seroient de l'autre côté de l'axe.

É XE M P L È IL

IX =aa

Problême Solide. 11. Soit encore leProblêmé proposé dans la Section précedente, Exemple s, où l'on a trouvé ces deux équations

aby— 66, & yy= ax + xx. Si l'on fait évanouir y, A. x2 - zaaxx-+ 4abbx+a+, 2bbxx

záabbro,

+ 64 qui n'a point de second terme.

l'on aura

*, l'on

aura.

[ocr errors]

= 0.

[ocr errors]

=au, ou

Si au lieu de faire évanouiry, l'on fait évanouir x,
B.y + 4by! +6bbyy +4by+6+

laayy 2aaby aabb
d'où faisant évanouir le second terme, en faisant y+b

l'on aura
C. 24 — 21Azz+ 2cabz- aabb

Et comme cette équation est plus simple que l'équation A, il vaut mieux s'en servir pour construire le Problême, que de l'équation A. Faisant donc

D. au=z, l'on aura aauu=24, &mettant les valeurs de

༢༢

& de z4 dans l'équation C, l'on aura aprés avoir divisé par aa , E. uu 2ax + 262 - bb =0, qui est une équation à la Parabole.

Si l'on ajoute le second membre de l'équation D au premier de l'équation E; & le premier au second, l'on aura un zau+ 32+ 262

bb F. uu -- 3au + K+262bb=0, qui est une équation au cercle.

Si l'on réduit l'équation F, & qu'on la construise avec F.16. 93. l'équation D. En prenant le point K pour l'origine des

K
inconnues u qui va vers S, &z qui lui est perpendicu-
laire , & va en haut, on retombera dans la construction
de la Section précedente no.s.

DE'MONSTRATION.
Par la construction du Problême s (Sect.prec. ) KL, ou

s
HP=x+a; & LM=y+b; & par cette construc-
tion KL=#, & LM=z=y+b; mettant donc dans
ces deux équations D & F pour u, sa valeur x + a, &
pour « la valeury+b, l'on aura ces deux équations.

G. aa+ax=yy+ aby bb, &

H.xx=da zby - bb, qui est la premiere équation de l'exemples , Sect. prec. & en ajoutant les deux équa. tions G & H,le premier membre au premier, & le second zu second, l'on aura , aprés les réductions,

[ocr errors]

12.

93

[ocr errors]

K. xx+ ax=yy, qui est la seconde équation du même
Exemple. C. Q.F.D.

REM A R Q u E.
PAR

A r le moyen de cetre construction , l'on ne F 16: 92. détermine

que la grandeur du côté CB=PM, au lieu que par la construction de la Section precedente, l'on a aussi déterminé la grandeur de CEO AP, d'où l'on voit que lorsqu'on construit un Problême solide

par

le moyen de son équation déterminée, il n'est pas entiere. mene résolu. Il faut encore pour cela refoudre & conftruire un'autre Problême simple ou Plan ; aulieu que lorsqu'on le construit par le moyen de ses deux équations indéterminées, il est entierement résolu : car les valeurs des deux inconnues se trouvent toujours déterminées.

Ainsi pour achever de résoudre le Problême , en supposant qu'on n'a déterminé que le côté CB par la construction précedente. Soit encore CE nommé x; & BD, C; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle x + a (CD).((BD):0.0 ( DE ), d'où l'on tire x= a, qui servira à déterminer la grandeur CE, & le Problême sera entierement résolu.

REMARQUES GENERAL E S

Sur la construction des Problemes Solides. 13. L es constru&ions du deuxiéme & cinquiệmeexemples de la Section précedente , comparees avec les constructions du second & du troisiéme de cette Section font voir qu'il est plus à propos de construire les Pro. blêmes solides avec deux équations indéterminées, qu'avec une équation déterminée, lorsqu'on le peur. Or on le peut toujours lorsque l'une des équations indéterminées se rapporte au cercle , ou bien lorsque les deux lettres inconnues ne se multiplient point dans les deux mêmes équations indéterminées : car en ce cas on trouvera toujours une équation au cercle, comme on a fait dans cet exemple.

[ocr errors]

.

[ocr errors]
[ocr errors]

On voit aulli qu'il n'est pas absolument necessaire que les deux lettres inconnues ayent les qualitez mar. quées dans la premiere Observation de l'article 4. On peut même le placer de differentes manieres , & chercher à chaque fois deux équations : car on trouve sou. vent des équations plus simples en les plaçant d'une maniere , qu'en les plaçant d'une autre.

14. Quoiqu'on n'ait employé dans cette Section que le cercle & la parabole pour la construction des Problemes | solides , cela n'empêche pas qu'on ne puisse les con

struire avec celle qu'on voudra des Sections coniques : car on peut tirer d'une équation déterminée du troi. sjeme & du quatriéme degré des équations à l'Ellipse, & à l'Hyperbole comme on en a tiré une équation au cercle, avec cette difference seule qu'on ne peut tirer d'une égnation du quatrième degré, une équation à l'Hyperbole par rapport à les asymptotes, & qu'on la peut tirer d'une équation du troisiéme.

Soit par exemple A. x = zaax-aab, qui est l'équa. tion de l'exemple 2.

En supposant Bray =xx , & mettant en la place de xx sa valeur ay, l'on aura C. xy = 3ax – 6,

-6, qui est une équation à l'Hyperbole par rapport à ses asymptotes, Et multipliant l'équation c par x, & mettant ensuite pour xx, sa valeur

ay

dans le premier terme, l'on aura D .y уу = 3xx

bx , qui est une équation à l'Hyperbole par rapport à ses diametres, comme celle de l'art. 14 n°13; & & mettant encore pour xx la valeur ay dans l'équation D; il viendra E. yy = 3ay

bx, qui est une équation à la parabole. En ajoutant les deux membres des deux équations B & E, le premier au premier, & le second au second, l'on aura yy zay bx, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere. Si l'on ajoute le second membre de l'équation B au premier de l'équation , & le premier au fecond , l'on aura yy + xx=4ay — bx, qui eit une équation au cercle. Si on multiplie l'équavion B par un nombre quelconque çatier ou rompu, ou

par

.

[ocr errors]

XX

[ocr errors]
[ocr errors]

6

:

par une fraction litterale, comme

avant que

de la combiner avec l'équation F, comme on vient de faire; l'on aura une équation à l'Hyperbole , & une à l’Ellipse.

On peut de même combiner deux des équations précedentes prises à volonté, & ensuite celles qui résultent de ces combinaisons , ce qui donnera une infinité d'équations aux Sections coniques, de l'une desquelles on pourra se servir avec l'équation au cercle. IS.

On tirera de la même maniere d'une équation du quatrième degré qui n'a point de second terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle : mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par rapport à ses asymptores: où l'on remarquera que si l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troisiéme ou du quatrieme degré, le Probleme seroit plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du second degré.

16- On peut encore construire les Problèmes solides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la ConstruAion des Equations de M. de la Hire, dont on a suivi ici la Méthode.

17. On multiplie les équations du troisiéme degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la parabole , differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement : car les Problêmes du troisième & du quatrième degré sont de même nature ; & même leurs constructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe passent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle est du troisiéme degré, & qu'elles n'y passent pas quand elle est du quafriéme.

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
« AnteriorContinuar »