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ز

ON

S E C TI O N XI.
l'on donne la Méthode de résoudre de de

construire les Problèmes indéterminez dont
les

Equations excedent le second degré : ou ce qui est la même chose, de décrire les courbes dont ces Equations expriment la nature ; ea de résoudre & de construire les Problèmes déterminez , dont les Equations excedent le quatriéme degré.

METHODE.
XXV N a donné des règles dans la cinquième,

fixiéme & septiéme Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus simple que

celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations : mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus compołez. Il faudroit pour

cela les avoir examinées les unes aprés les autres ; ce qui iroit à l'infini : car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il est plus composé, & il y a une infinité de genres.

1. On dira fealement en general qu'aprés avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en observant pour nommer les lignes inconnues, ce qui est prelcrit dans la premiere ou feptiémeObservation de l'art.4), qui exprime la nature de la Courbe qui doit servir à le réfoudre, qui en dérermine le genre, & qui soit réduite à fon expreffion la plus simple ; il faut examiner par

l'infpection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en fuivant les regles de la construction des équations de terminées , trouver par les mêmes regles les valeurs de cette inconnue, en assignant à l'autre inconnue une va

leur déterminée , & arbitraire ; & l'on aura à chaque fois qu'on assignera à cette inconnue des valeurs arbitraires, autant de points de la courbe qu'on veut décrire , que l'autre inconnue aura de valeurs réelles , positives, & négatives. De sorte que si l'inconnue la moins élevée de l'equation , si elles ne le sont pas toutes deux également, à une ou deux dimensions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section II, en affignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires , & la regardant en. suite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimensions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section précedente ; & fi elle a un plus grand nombre de dimensions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la suite : mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne sera point necessaire d'en faire évanouir le second terme, s'il s'y rencontre: où l'on remarquera qu'il faut réiterer la construction autant de fois qu'on assignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend pour constante.

2. On peut aussi , aprés avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & septiéme Observation de l'art. 4, & nommer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'autres équations , qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit résoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre : mais qui pourront servir à décrire plus simplement la même courbe, soit par elles-mêmes, ou en faisant évanouir

par

leur moyen les inconnues de la premiere équation , afin de la rendre plus simple , & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe.

peut encore cirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit résoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre , lorsqu'on y trouve l'expression de l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes , en égalant cette expression à une troisieme lettre inconnue, ou à son quarré, & la construction de ces équations facilitera

3. On

la description de la courbe qu'on veut décrire. Tout ce-ci se trouvera pratiqué dans les exemples qui suivent,

E x E M P L È I.

ܪ

Problême indéterminé. F16 97. 4. Un demi cercle AFB, dont le diametre eft AB, & le cen

tre C, étant donné, ayant mené par un point quelconque P du diametrè AB, la droite PK perpendiculaire à AB,qui rencontre la circonference AFB en K. Il faut trouver sur PK le point M, qai la divise en sorte que AP.PM :: PB. PK. Et comme il y a une infinité de points comme M, il faut trouver la courbe sur laquelle ils se trouvent tous.

Ayant supposé le Problême résolu ; & nommé le diametre AB, a;

& les indéterminées AP, * ;;PM,; PB sera, a x;

& par la proprieté du cercle PK sera Vax - xx, & l'on aura par les qualitez du Problême, AP(x).İM(y) :: PB(&-*). PK= _ay xy

xx, & en quarrant chaque membre , multipliant ensuite par xx,

& divisant par a - * ; l'on aura x} ayy xyy , qui est une équation du troisiéme degré, qui montre que la courbe cherchée dont elle exprime la nature est du second genre. On tire de l'équation que l'on vient de trouver , y=+ynx, ouy=+ en multipliant les deux termes de la fraction par Vx, ce qui ne change ni le degré de l'équation, ni le genre de la courbe, d'où l'on voit que la courbe pafle des deux côtez de l'axe AB par les points M, & m, & que

la partie Amest égale & lemblable à la partie AM, puisque Pm=PM.

Si l'on fait x=0, le point P tombera en A , les termes où x se rencontrent seront nuls, & l'on aura par consequenty=0, d'où l'on connoît que la courbe ren

Vax– xx ,

xVx

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contre son axe au point A, puisque AP & PM s'y'aneancissent , & qu'elle ne rencontre qu'en A la parallele à PK menée par A: car si elle la rencontroic encore en quelqu'autre point , l'on trouveroit une valeur de y qui le détermineroit.

Si l'on fait y =o, l'on'aura aussi x = 0, qui montre que la courbe ne rencontre son axe AB qu'au feul point A ; & comme elle ne rencontre aussi la parallele à PK, menée par A qu'au seul point À ; il fuit qu'elle est toute du coré de B par rapport à cette parallele.

Puisque par l'Hypothese PB.PK :: AP. PM, il est clair que la courbe AM touche son axe au point A: car le point P étant infiniment proche de A, les points K & Men seront aussi infiniment proches ;& parcequ'alors PB surpassera pour ainsi dire infinimene PK; AP furpassera aussi pour ainsi dire infiniment PM; d'où il suit que la petite partie AM de la courbe sera pour ainsi dire dans la direction de son axe AB, qu'elle couche & coupe par consequent au point A.

L'on yoit encore par la même équation que x croisfant , y croît aussi , même en deux manieres: car le numerateur xx du membre fractionnaire croissant, le dénominateur Vax — *x diminue.

Si l'on augmente x jusqu'à ce qu'elle devienne le point P rombera en B , & l'équation deviendra y 45 , & comme ce rapport est plus grand que tout rapport donné, c'est à dire, infiniment grand ; il suic que

si l'on mene par B une ligne BH parallele à PM, cette parallele ne rencontrera la courbe qu'à une distance infinie , ou', ce qui est la même chose , qu'elle lui sera afymptote. L'on voit aussi qu'on ne peut pas augs menter x en sorte qu'elle surpasse AB: car le dénomina. teur de la fraction deviendroit une quantité imaginaire; & par consequent aussi les valeurs de y: ce qui fait voir que la courbe ne passe point au-delà BH menée

par

D parallele à PK. Il suit de tout ce qu'on vient de dire

que

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1 2

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ܕ ܘ

ز

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D di iij

و

peut ausli

la courbe est toute renfermée entre les deux paralleles à PM, menées

par A & par B. Puisque BH est asymptote à la courbe AM , il suit qu'elle coupe la circonference du cercle en quelque point F,qu'il est aisé de déterminer: car faisant PM=PK, ou y=Vax- xx, & mettant cette valeur de y dans l'équation precedente, elle deviendra ax —- **=xx, d'où l'on tire x= -a, qui fait voir que le point Fdivisera par le milieu le demi cercle AFB : ce que

l'on remarquer par l'Hypothese : car le point P tombant en C, l'on aura AC.CM:: CB. CK; & partant CM= CKS AC.

La qualité du Problême fournit une maniere assez simple pour décrire la courbe : mais il faut examiner si l'on n'en peut pas tirer une plus simple de son équation

en cherchant les valeurs de y dans toutes les positions du point P. On trouve que cette équation donne certe construction qui est presque la même que celle

que fournit le Problême. Soir prise PM troisiéme proportionnelle à PK & à AP, & le point M sera à la courbe cherchée.

XX

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Vax

XX

cire y

Vax

XX

D E'MONSTRATION. Par la construction , & par la proprieté du cercle Viex — xx.(PK).*(AP):: x.y (PM), d'où l'on

C. L. F. D, Quoique ces constructions soient assez simples, il est neanmoins à propos de voir si l'on n'en peut pas trouver une encore plus simple. Soit pour ce sujet menee par les points A & M la droite AMG qui rencontre la circonference AKB en E, & l'asymptote AH en G, & ayant mené ED parallele à PK , & nommé DB, AD

K, & les triangles semblables APM, ADE,

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sera a

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