SECTION X I. Où l'on donne la Méthode de résoudre & de construire les Problêmes indéterminez dont les Equations excedent le second degré : ou ce qui est la même chose, de décrire les courbes dont ces Equations expriment la nature ; & de résoudre & de construire les Problêmes déterminez, dont les Equations excedent le quatriéme degré. XXV. METHODE. N a donné des règles dans la cinquiéme, fixiéme & septiéme Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus simple que celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations : mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus composez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes aprés les autres; ce qui iroit à l'infini: car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il est plus compofé, & il y a une infinité de genres. 1. On dira feulement en general qu'aprés avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en obfervant pour nommer les lignes inconnues, ce qui est prefcrit dans la premiere ou septiéme Observation de l'art. 4), qui exprime la nature de la Courbe qui doit servir à le réfoudre, qui en détermine le genre, & qui soit réduite à fon expreffion la plus fimple; il faut examiner par l'inspection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en suivant les regles de la construction des équations déterminées, trouver par les mêmes regles les valeurs de cette inconnue, en assignant à l'autre inconnue une valeur déterminée, & arbitraire ; & l'on aura à chaque fois qu'on assignera à cette inconnue des valeurs arbitraires, autant de points de la courbe qu'on veut décrire, que l'autre inconnue aura de valeurs réelles, positives, & negatives. De forte que si l'inconnue la moins élevée de l'equation, si elles ne le sont pas toutes deux également, à une ou deux dimensions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section II, en assignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires, & la regardant ensuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimensions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section précedente; & fi elle a un plus grand nombre de dimensions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la suite: mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne sera point necessaire d'en faire évanouir le second terme, s'il s'y rencontre: où l'on remarquera qu'il faut réiterer la construction autant de fois qu'on assignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend pour constante. 2. On peut aussi, après avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & feptiéme Observation de l'art. 4, & nommer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'autres équations, qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit résoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre: mais qui pourront servir à décrire plus simplement la même courbe, soit par elles-mêmes, ou en faisant évanouir par leur moyen les inconnues de la premiere équation, afin de la rendre plus simple, & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe. 3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit résoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre, lorsqu'on y trouve l'expression de l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes, en égalant cette expression à une troisieme lettre inconnue ou à fon quarré, & la construction de ces équations facilitera د la description de la courbe qu'on veut décrire. Tout ce-ci se trouvera pratiqué dans les exemples qui suivent. EXEMPLE I. Problême indéterminé. F16 97.4. UN demi cercle AFB, dont le diametre eft AB, & le centre C, étant donné, ayant mené par un point quelconque P du diametre AB, la droite PK perpendiculaire à AB, qui rencontre la circonference AFB en K. Il faut trouver fur PK le point M, qui la divise en forte que AP. PM :: PB. PK. Et comme il y a une infinité de points comme M, il faut trouver la courbe fur laquelle ils se trouvent tous. Ayant supposé le Problême résolu; & nommé le diametre AB, ; & les indéterminées AP, x; PM, y; PB fera, a - x ; & par la proprieté du cercle PK seravax - xx, & l'on aura par les qualitez du Problême, AP(x).PM(y) :: PB (a - x). PK = My-ху xVx x xx = = Vax - xx, & en quarrant chaque membre, multipliant Pm=PM. Vax xx Si l'on fait x = o, le point P tombera en A, les termes où x se rencontrent feront nuls, & l'on aura par consequenty = 0, d'où l'on connoît que la courbe rencontre son axe au point A, puisque AP & PM s'y aneantiffent, & qu'elle ne rencontre qu'en A la parallele à PK menée par A: car fi elle la rencontroit encore en quelqu'autre point, l'on trouveroit une valeur dey qui le détermineroit. Si l'on fait y =0, o, l'on aura aussi x = 0, qui montre que la courbe ne rencontre son axe AB qu'au feul point A; & comme elle ne rencontre aussi la parallele à PK, menée par A qu'au seul point A; il suit qu'elle est toute du côté de B par rapport à cette parallele. Puisque par l'Hypothese PB. PK :: AP. PM, il est clair que la courbe AM touche son axe au point A: car le point P étant infiniment proche de A, les points K & Men feront aussi infiniment proches; & parcequ'alors PB surpassera pour ainsi dire infiniment PK; AP furpassera aussi pour ainsi dire infiniment PM; d'où il fuit que la petite partie AM de la courbe sera pour ainsi dire dans la direction de son axe AB, qu'elle touche & coupe par consequent au point A. L'on voit encore par la même équation que x croif fant , y croît aussi, même en deux manieres: car le numerateur xx du membre fractionnaire croissant, le dénominateur Vax ax - xx diminue. Si l'on augmente x jusqu'à ce qu'elle devienne ==a le point tomberaen B, & l'équation deviendray = aa 44 & comme ce rapport est plus grand que tout rapport donné, c'est à dire, infiniment grand; il suit que si l'on mene par B une ligne BH parallele à PM cette parallele ne rencontrera la courbe qu'à une distance infinie, ou', ce qui est la même chose, qu'elle lui fera asymptote. L'on voit aussi qu'on ne peut pas aug. menter & en forte qu'elle furpasse AB: car le dénomina teur de la fraction deviendroit une quantité imaginaire; & par consequent aussi les valeurs de y: ce qui fait voir que la courbe ne passe point au-delà BH menée par B parallele à PK. Il suit de tout ce qu'on vient de dire que la courbe est toute renfermée entre les deux paralleles à PM, menées par A & par B. Puisque BH est asymptote à la courbe AM, il suit qu'elle coupe la circonference du cercle en quelque point F,qu'il est aise de déterminer: car faisant PM=PK, ou y=ax-xx, & mettant cette valeur de y dans l'équation précedente, elle deviendra ax - xx = xx, d'où l'on tire x = a, qui fait voir que le point F divisera par le milieu le demi cercle AFB: ce que l'on peut aussi remarquer par l'Hypothese : car le point P tombant en C, l'on aura AC.CM: CB. CK; & partant CM= CK=AC. y= xx Yax - xx I 2 La qualité du Problême fournit une maniere affez simple pour décrire la courbe : mais il faut examiner si l'on n'en peut pas tirer une plus simple de son équation en cherchant les valeurs dey dans toutes les positions du point P. On trouve que cette équation donne cette construction qui est presque la même que celle que fournit le Problême. Soit prise PM troifiéme proportionnelle à PK & à AP, & le point M sera à la courbe cherchée. DEMONSTRATION. PAR la construction, & par la proprieté du cercle Vax-xx.(PK).x (AP)::x.y (PM), doù l'on Quoique ces constructions soient assez simples, il est neanmoins à propos de voir si l'on n'en peut pas trouver une encore plus simple. Soit pour ce sujet menée par les points A & Mla droite AMG qui rencontre la circonference AKB en E, & l'asymptote AH en G, & ayant mené ED parallele à PK, & nommé DB, 2; AD sera a - z, & les triangles semblables APM, ADE, |