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Où l'on donne la Méthode de réfoudre & de conftruire les Problêmes indéterminez, dont les Equations excedent le fecond degré: ou ce qui eft la même chofe, de décrire les courbes dont ces Equations expriment la nature; & de réfoudre & de conftruire les Problêmes déterminez, dont les Equations excedent le quatrième degré.

XXV.

ON

METHODE.

décrire cel

N a donné des règles dans la cinquième, fixiéme & feptiéme Section pour décrire les courbes du premier genre d'une manière plus fimple que celles qu'on tirerdit naturellement de leurs équations: mais on n'en peut pas donner pour les des genres plus compofez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes aprés les autres, ce qui iroit à l'infini: car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il eft plus compofé, & il y a une infinité de genres.

1. On dira feulement en general qu'après avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en observant pour nommer les lignes inconnues, ce qui eft prefcrit dans la premiere ou feptiémeObfervation de l'art. 4), qui exprime la nature de la Courbe qui doit fervir à le réfoudre, qui en détermine le genre, & qui foit réduite à fon expreffion la plus fimple; il faut examiner par l'infpection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en fuivant les regles de la conftruction des équations déterminées, trouver par les mêmes regles les valeurs de cette inconnue, en affignant à l'autre inconnue une va

leur déterminée, & arbitraire; & l'on aura à chaque fois qu'on affignera à cette inconnue des valeurs arbitraires, autant de points de la courbe qu'on veut décrire, que l'autre inconnue aura de valeurs réelles, de valeurs réelles, pofitives, & négatives. De forte que fi l'inconnue la moins élevée de l'equation, fi elles ne le font pas toutes deux également, à une ou deux dimenfions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section II, en affignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires, & la regardant enfuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimenfions, on en trouvera les valeurs par les regles de la Section précedente; & fi elle a un plus grand nombre de dimenfions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la fuite: mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne fera point neceffaire d'en faire évanouir le fecond terme, s'il s'y rencontre: où l'on remarquera qu'il faut réiterer la conftruction autant de fois qu'on affignera des valeurs differentes à

l'inconnue que l'on prend pour conftante.

2. On peut auffi, aprés avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & feptiéme Observation de l'art. 4, & nommer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'autres équations, qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit réfoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre: mais qui pourront fervir à décrire plus fimplement la même courbe, foit par elles-mêmes, ou en faifant évanouir par leur moyen les inconnues de la premiere équation, afin de la rendre plus fimple, & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe.

3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit réfoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre, lorsqu'on y trouve l'expreffion de l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes, en égalant cette expreffion à une troifiéme lettre inconnue ou à fon quarré, & la conftruction de ces équations facilitera

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la description de la courbe qu'on veut décrire. Tout ce-ci fe trouvera pratiqué dans les exemples qui fuivent,

EXEMPLE I.

Problême indéterminé.

F16 97. 4. UN demi cercle AFB, dont le diametre eft AB, & le centre C, étant donné, ayant mené par un point quelconque P du diametrè AB, la droite PK perpendiculaire à AB, qui rencontre la circonference AFB en K. Il faut trouver fur PK le point M, qui la divife en forte que AP. PM :: PB. PK. Et comy a une infinité de points comme M, il faut trouver la courbe fur laquelle ils fe trouvent tous.

me il

Ayant fuppofé le Problême réfolu; & nommé le diametre AB, a; & les indéterminées AP, x ; PM, J ; PB fera, a — x ; & par la proprieté du cercle PK fera√ax-xx, & l'on aura par les qualitez du Problême, 'AP(x) . ÎM ( y ) : PB (a — x ). PK= _ay—xy

& divifant

par

a

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x

x; l'on aura x3

√ax — xx, & en quarrant chaque membre, multipliant
enfuite par xx,
ayy — xyy, qui eft une équation du troisième degré,
qui montre que la courbe cherchée dont elle exprime la
nature eft du second genre. On tire de l'équation que

xVx

xx

l'on vient de trouver, you y = ± √
-Vax· -xx
en multipliant les deux termes de la fraction par Vx, ce
qui ne change ni le degré de l'équation, ni le genre de
la courbe, d'où l'on voit que la courbe paffe des deux
côtez de l'axe AB par les points M, & m, & que la
partie Am est égale & femblable à la partie AM, puifque

Pm-PM.

Si l'on fait x = o, le point P tombera en A, les termes où x fe rencontrent feront nuls, & l'on aura par confequenty =o, d'où l'on connoît que la courbe ren

contre fon axe au point A, puifque AP & PM s'y aneantiffent, & qu'elle ne rencontre qu'en A la parallele à PK menée par A: car fi elle la rencontroit encore en quelqu'autre point, l'on trouveroit une valeur de y qui le détermineroit.

Si l'on fait yo, l'on aura auffix=o, qui montre que la courbe ne rencontre fon axe AB qu'au feul point A; & comme elle ne rencontre auffi la parallele à PK, menée par A qu'au feul point A ; il fuit qu'elle est toute du côté de B par rapport à cette parallele.

Puifque par l'Hypothefe PB. PK :: AP. PM, il est clair que la courbe AM touche fon axe au point A: car le point P étant infiniment proche de A, les points K & Men feront auffi infiniment proches ; & parcequ'alors PB furpaffera pour ainfi dire infiniment PK; AP furpaffera auffi pour ainfi dire infiniment PM; d'où il fuit que la petite partie AM de la courbe fera pour ainfi dire dans la direction de fon axe AB, qu'elle touche & coupe par confequent au point 4.

L'on voit encore par la même équation que x croisfant, y croît auffi, même en deux manieres: car le numerateur xx du membre fractionnaire croiffant, le dénominateur Vax-xx diminue.

Si l'on augmente x jufqu'à ce qu'elle devienne = a, le point P tombera en B, & l'équation deviendra y

ศศ

AA

& comme ce rapport, eft plus grand que tout rapport donné, c'est à dire, infiniment grand; il suic que fi l'on mene par B une ligne BH parallele à PM, cette parallele ne rencontrera la courbe qu'à une distan ce infinie, ou, ce qui eft la même chofe, qu'elle lui fera afymptote. L'on voit auffi qu'on ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpaffe AB: car le dénomina teur de la fraction deviendroit une quantité imaginaire; & par confequent auffi les valeurs de y: ce qui fait voir que la courbe ne paffe point au-delà BH menée par B parallele à PK. Il fuit de tout ce qu'on vient de dire

D d iij

В

que

lá courbe est toute renfermée entre les deux paralleles à PM, menées par A& par B.

-

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Puifque BH eft afymptote à la courbe AM, il suit qu'elle coupe la circonference du cercle en quelque point F,qu'il eft aifé de déterminer: car faisant PM=PK, ou y = Vax& mettant cette valeur de y dans l'équation précedente, elle deviendra ax-xx-xx, d'où l'on tire x == a, qui fait voir que le point F divisera le milieu le demi cercle AFB: ce que l'on peut auffi remarquer par l'Hypothefe: car le point P tombant en C, l'on aura AC. CM:: CB. CK; & partant CM= CK AC.

xx

Yax -xx

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par

La qualité du Problême fournit une maniere affez fimple pour décrire la courbe : mais il faut examiner fi l'on n'en peut pas tirer une plus fimple de fon équation y= en cherchant les valeurs de y dans toutes les pofitions du point P. On trouve que cette équation donne cette conftruction qui eft prefque la même que celle que fournit le Problême. Soit prife PM troifiéme proportionnelle à PK & à AP, & le point M fera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION.

PAR la construction, & par la proprieté du cercle √ax — xx. ( PK ) . x ( AP ) : x . y (PM), d'où l'on

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Quoique ces conftructions foient affez simples, il est neanmoins à propos de voir fi l'on n'en peut pas trouver une encore plus fimple. Soit pour ce fujet menée par les points A & M la droite AMG qui rencontre la circonference AKB en E, & l'afymptote AH en G, & ayant mené ED parallele à PK, & nommé DB,z; AD fera a , & les triangles femblables APM, ADE,

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