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aayy

ayy - 299, en

XX

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donneront AP (*) .PM(y):: AD (

aq). DE= ay = 27. Mais par la propriecé du cercle DE=Vaz-23 donc az-KE

2A2yy + zzyy

ou z divisant chaque membre par a— - 2. L'on a aussi l'équa. zion du Problême

уу

donc en mettant cette valeur de

vy

dans l'équation précedente , l'on aura KE

d'où l'on tire z=x, ou AP=DB; donc AM= EG, qui donne cette construction qui est la plus fimple que l'on puisse trouver.

Soit menée du point A une ligne droite quelconque AG qui rencontrera la circonference du demi cercle en E ; & ayant pris sur AG , AM=EG ; le point M fera à la courbe cherchée.

-> AX

ز

DE'MONSTRATION. PUISQUE (Const. ) AP=DB, AP étant x ; DB sera aussi, x; AD, a - *; & l'on aura , à cause des triangles semblables APM, ADE, AP.(x). PM(y) :: ADIa- x.DE="<%= (par la Prop. du cer. cle) Vax - xx, d'où l'on tire l'équation du Problême. C. l. F. D.

Diocles Inventeur de cette courbe , l'a nommée Cyloïde.

ز

EXEMPLE II.

Problême indéterminé. FIG. 98.5. U N angle droit ABH, & un point fixe A sur un de ses

côtez, étant donnez de position sur un Plan. Si Pon mene du point fixe A une ligne quelconque AG, qui rencontre le côté BH en G , & qu'on prenne GM=GB. Il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle se trouve le point M, & tous ceux que l'on trouvera de la même maniere.

Ayant supposé le Problême résolu,on abaissera du point M sur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé la donnée AB,a; & les indéterminées AP,x;PM,y;PB sera, a—x;&AM, Vxx+yy , & les triangles semblables APM, ABG donneront AP (*). PM(y) :: AB (a). BG=

=(Hyp: ) GM, & à cause des paralleles PM, BG, l'on aura x(AP).a*(PB) :: Vxx+3y ( AM).. (GMouGB). d'où l'on tire y=+ ; qui est une équation du troisiéme degré : car on avroit pû la divifer par x avant que d'extraire la racine , & la courbe par consequent est du second genre.

Il seroit inutile de chercher une constru&ion plus simple que celle qui est renfermée dans l'énoncé du Probleme : car il est impossible d'en trouver de plus simples. Voici celle que l'équation donne.

Soit prolongée AB en D, en sorte que BD=AB, & décrit un demi cercle AKD sur le diametre AD. Ayant mené par un point quelconque P la droite PK parallele BH, qui rencontrera le demi cercle en K, on prendra sur PK, PM quatrieme proportionnelle à PK, ÁP, & PB, & le point M sera à la courbe cherchée.

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DE'MONSTRATION.

AXXX

y=+Viaxxx

DE'MONSTRATION. Par la construction,& à cause du demi cercle, Vzax-xx (PK).*( AP) ::a-x(PB). y (PM),d'où l'on cire

C. l. F. D. On voit par cette équation que la courbe passe des deux côtez de son axe AB, & que les parties qui sont de part & d'autre sont égales & semblables.

Si l'on fait x=0, l'on aura aussi y=0, ce qui montre que la courbe passe au point A, qui est par consequent le sommet de son axe ; & la construction précedente aussi bien que l'énoncé du Problême , font connoître qu'elle coupe au point A son axe AB à angles droits: car si l'on suppose le point Pinfiniment proche de A, les points K & M en seront aussi infiniment proches. Or puisque ( const.) PK. AP :: PB. PM, & que PM est pour ainsi dire nulle rapport PB; AP sera

par

consequent nulle par rapport à PK; & partant le point M est pour ainsi dire dans la perpendiculaire à AB menée Si l'on fait y=0, l'on aura x=d;

l'on aura x=a; d'où il suit que la courbe rencontre encore son axe au point B, puisque y y est nulle. Mais outre cela , je dis qu'elle le coupe en faisant avec lui un angle de 45 degrez: car si l'on suppose que le point P loit infiniment proche de B, le point K sera infiniment proche du point H miileu de la circonference du cercle AKD; c'est pourquoi PK sera égale à PA,& par consequent PB=PMà cause de l'Analogie precedente PK. AP :: PB. PM; ainsi le petit triangle KPB sera rectangle & isoscele , & partant l'angle PBM sera demi droit. La même équaion y=+ Viaxxx

fait voir que AP=x peut devenir plus grande que AB=a, sans que les valeurs de y deviennent imaginaires, ce qui fait voir

la courbe passe au-delà de BH par rapport à A, de sorte que la partie MB se continue vers), & Pautre vers E.

Еe

par A.

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que

AXXX

ou y

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V2AX

XX AX

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Mais parcequ'alorsy devient negative de positive qu'elle étoit, l'équation deviendra

y=+

Ainsi pour décrire les parties de la courbe qui sont au-delà de BH par rapport à A, ayant mené par un point quelconque 7, la droite pk parallele à BH, l'on prendra pm quatrieme proportionnelle à pk, PA, & PB, & le point m sera à la courbe cherchée.

Si l'on augmente x ( AP ) jusqu'à ce qu'elle devienne = AD = 2a , l'équation deviendra y

=+, qui fait voir DF menée par D parallele à BH, & prolongée de part

& d'autre à l'infini , ne rencontrera jamais la courbe , & lui sera par consequent asymptote.

Si l'on veut déterminer le point E, où la courbe coupe la circonference du demi cercle, il n'y a qu'à faire pm=pk, c'est-à-dire, y=Viax - xx , & mettane certe valeur de y dans l'équation précedente , l'on en tirera

c'est-à-dire que le point E est vis-à-vis le mi. lieu de BD; & que par consequent l'arc ED, est de 60 degrez.

E X E M P L E III.

Problême indéterminé. $16. 99. 6. Une ligne droite GH indéterminée de part & d'ax

tre, & an point D hors de cette ligne , étant donnez de position sur un Plan. Si l'on ajuste l'axe AE d'une courbe quelconque FAM fur la ligne GH, & qu'on applique aa point fixe Dune regle DMF, indéfinie de part et d'autre du point D, qui en tournant fasse mouvoir la courbe FAM en poussant de côté ou d'autre un point déterminé C de fon axe, le long de la ligne GH , les interfe£tions F e M de la regle DMF avec la courbe FAM, décriront par ce mouvement deux auTes courbes, ou deux parties d'une courbe KF &IM. L'on propole de trouver des équations qui en expriment la nature..

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2

ز

Ayant supposé le Problême résolu, l'on menera du point D la ligne De perpendiculaire à GH, ou à l'axe de la courbe FAM , & du point d'intersection M les lignes MP, MQ paralleles à DE & à AE: & ayant nommé les données DE, a; AC, 6; & les indéterminées EP, ou QM,*; EL, ou PM,Y; AP, TCP sera, 2 -6; Deia-y; & les triangles semblables DOM, MPC donneront a ry(DQ). * (-2M) :: y (MP):8-6(PC), d'où l'on tire cette équation.

A. xy=an-ya- ab + by, qui est une équation generale pour la courbe IM, telle que puisse être la courbe FAM.

Si l'on change les signes des termes de l'équation A, où у se rencontre , l'on aura -- xy =az+yz - ab by, ou

B. xy =-az- y2 + ab + by, qui est une équation generale pour la courbe KF: car l'inconnue PM=y, de positive qu'elle étoit, devient negative FO, EP=x, devient EO, & AP=zdevient ÂO. Ce qu'on peut aisément

prouver en cherchant une équation dans cette supposition : car CO étant à present, 6-8; EC sera *+2-6; & les triangles semblables DEC, FOC donneront a (DE).*+- 6 (EC) :: j (FO)..- 2 (CO), d'où l'on tire xy=-az-yz+ ab + by, qui est l'équation B.

La nature de la courbe FAM étant donnée , l'on aura une équation qui exprimera la relation de ses coordonnées AP, ou A0 (2) & PM, ou OF, (y), d'où l'on tirera une valeur de z que l'on substituera dans l'équation A, ou B; & l'équation quien resultera exprimera le nature de la courbe IM , ou KF, & en déterminera

le genre.

Soit par exemple la courbe FAM une parabole du premier genre dont le parametre soit , l'on aura ( art. 10 ) P* AO, ou px AP=F0, ou PM”, ce qui est en termes algebriques pz=jy, d'où l'on tire <=

&

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