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donneront AP (x). PM (y) :: AD (az). DE =

ay

x

Mais par la proprieté du cercle DE=Vaz-z

aayy - zazyy + zzyy

xx

ayy-zyy

ou en

xx

donc az一ㄍ= divisant chaque membre par a - z. L'on a aussi l'équa

x3

tion du Problême yy = ; donc en mettant cette

a-x

valeur de yy dans l'équation précedente, l'on aura

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= ; d'où l'on tire z=x, ou AP=DB; donc

a-x

AM EG, qui donne cette construction qui est la plus fimple que l'on puisse trouver.

Soit menée du point A une ligne droite quelconque AG qui rencontrera la circonference du demi cercle en E; & ayant pris sur AG, AM = EG; le point M fera à la courbe cherchée.

DE'MONSTRATION.

PUISQUE (Const.) AP=DB, AP étant x; DB sera aussi, x; AD, a - x ; & l'on aura, à caufe des triangles semblables APM, ADE, AP. (x). PM(y) :: AD(a-x.DE= = (par la Prop. du cer. cle) Vax-xx, d'où l'on tire l'équation du Problême C. Q. F. D.

x

Diocles Inventeur de cette courbe, l'a nommée Cyfloïde.

1

EXEMPLE II.

Problême indéterminé.

F1 G. 98. 5. U N angle droit ABH, &un point fixe A fur un de ses côtez, étant donnez de position surun Plan. Si l'on mene du point fixe A une ligne quelconque AG, qui rencontre le côté BH en G, & qu'on prenne GM = GB. Il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe fur laquelle se trouve le point M, & tous ceux que l'on trouvera de la mème

maniere.

Ayant supposé le Problême résolu, on abaissera du point M fur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé la donnée AB,a; & les indéterminées AP,x;PM, y; PB fera, a-x; &AM, √xx+yy, & les triangles semblables APM, ABG donneront AP(x). PM (y) :: AB (a). BG=

x

=(Hyp.) GM, & à cause des paralleles PM, BG,

l'on aura x (AP).a-x (PB) :: √xx+yy(AM).

(GM,ouGB). d'où l'on tire y = +

xxx

Vrax - xx

x

, qui est une équation du troifiéme degré : car on avroit pû la diviser par x avant que d'extraire la racine, & la courbe par consequent est du second genre.

Il seroit inutile de chercher une construction plus fimple que celle qui est renfermée dans l'énoncé du Problême: car il est impossible d'en trouver de plus simples. Voici celle que l'équation donne.

Soit prolongée AB en D, en forte que BD = AB, & décrit un demi cercle AKD sur le diametre AD. Ayant mené par un point quelconque P la droite PK parallele BH, qui rencontrera le demi cercle en K, on prendra fur PK, PM quatrième proportionnelle à PK, AP, & IPB, & le point M sera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION.

DE'MONSTRATION.

Par la construction, & à cause du demi cercle, Vax-xx

AR

(PK) . x (AP) :: a-x (PB). y (PM), d'où l'on tire

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On voit par cette équation que la courbe passe des deux côtez de son axe AB, & que les parties qui sont de part & d'autre font égales & semblables.

Si l'on fait x = o, l'on aura aussi y = 0, ce qui montre que la courbe passe au point A, qui est par consequent le sommet de son axe ; & la construction précedente aussi bien que l'énoncé du Problême, font connoître qu'elle coupe au point A son axe AB à angles droits: car si l'on suppose le point Pinfiniment proche de A, les points K & M en feront aussi infiniment proches. Or puisque (conft.) PK. AP :: PB. PM, & que PM eft pour ainsi dire nulle rapport PB; AP sera par confequent nulle par rapport à PK; & partant le point M est pour ainsi dire dans la perpendiculaire à AB menée par A.

Si l'on fait y=0, l'on aura x = a; d'où il suit que la courbe rencontre encore son axe au point B, puisque y y est nulle. Mais outre cela, je dis qu'elle le coupe en faisant avec lui un angle de 45 degrez: car si l'on suppose que le point P soit infiniment proche de B, le point K sera infiniment proche du point H miileu de la circonference du cercle AKD; c'est pourquoi PK fera égale à PA, & par consequent PB=PMà cause de l'Analogie précedente PK. AP :: PB. PM; ainsi le petit triangle KPB sera rectangle & ifofcele, & partant l'angle PBM sera demi droit.

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AP= x peut devenir plus grande que AB = a, sans que les valeurs de y deviennent imaginaires, ce qui fait voir que la courbe passe au-delà de BH par rapport à A, de forte que la partie MB se continue vers, & l'autre vers E.

Ec

:

Mais parcequ'alorsy devient negative de positive qu'elle étoit, l'équation deviendra -y=±

=+

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ou y Ainsi pour décrire les parties de la

courbe qui font au-delà de BH par rapport à A, ayant mené par un point quelconquep, la droite pk parallele à BH, l'on prendra pm quatrième proportionnelle à pk, pA, & pB, & le point m sera à la courbe cherchée.

Si l'on augmente x (AP) jusqu'à ce qu'elle devienne

AD

2a

a,

244

l'équation deviendra y=+, qui fait

voir DF menée par D parallele à BH, & prolongée de part & d'autre à l'infini ne rencontrera jamais la courbe, & lui fera par consequent asymptote.

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Si l'on veut déterminer le point E, où la courbe coupe la circonference du demi cercle, il n'y a qu'à faire pm=pk, c'est-à-dire, y=V2ax 2ax-xx, & mettant cette valeur de y dans l'équation précedente, l'on en tirera

3

2

x = a, c'est-à-dire que le point E est vis-à-vis le mi-
lieu de BD; & que par consequent l'arc ED, est de
60 degrez.

ΕΧΕΜPLE III.
Problême indéterminé.

$16. 99. 6. UN E ligne droite GH indéterminée de part & d'autre, & un point D hors de cette ligne, étant donnez de pofition fur un Plan. Si l'on ajuste l'axe AE d'une courbe quelconque FAM fur la ligne GH, & qu'on applique au point fixe D une regle DMF, indéfinie de part & d'autre du point D, qui en tournant fafsse mouvoir la courbe FAM en pouffant de côté ou d'autre un point déterminé C de fon axe, le long de La ligne GH, les intersections F & M de la regle DMF, avec la courbe FAM, décriront par ce mouvement deux aures courbes, ou deux parties d'une courbe KF & IM. L'on propose de trouver des équations qui en expriment la nature..

Ayant supposé le Problême résolu, l'on menera du point D la ligne DE perpendiculaire à GH, ou à l'axe de la courbe FAM, & du point d'interfection M les lignes MP, M2 paralleles à DE & à AE: & ayant nommé les données DE, a; AC, b; & les indéterminées EP, ou QM, x; EQ, ou PM, y; AP, z; CP fera, z-b; DQ, a -y ; & les triangles semblables DQM, MPC donneront a - y (DQ).x (QM) :: y (MP).-6(PC), d'où l'on tire cette équation.

A. xy = az-yz - ab + by, qui est une équation generale pour la courbe IM, telle que puisse être la courbe FAM.

Si l'on change les signes des termes de l'équation A, où y se rencontre, l'on aura - xy=az+yz-ab by, ou

B. xy =-az- yz + ab + by, qui est une équation generale pour la courbe KF : car l'inconnue PM=y, de positive qu'elle étoit, devient negative FO, EP=x, devient EO, & AP = z devient AO. Ce qu'on peut aifément prouver en cherchant une équation dans cette supposition: car CO étant à present, b-z; EC sera x+2-6; & les triangles semblables DEC, FOC donneront a (DE).x+z-b (EC) :: y (FO).6-2 (CO), d'où l'on tire xy=-az-yz+ab+by, qui est l'équation B.

La nature de la courbe FAM étant donnée, l'on aura une équation qui exprimera la relation de ses coordonnées AP, ou A0 (z) & PM, ou OF, (y), doù l'on tirera une valeur de z que l'on substituera dans l'équation A, ou B; & l'équation qui en resultera exprimera le nature de la courbe IM, ou KF, & en déterminera le genre.

Soit par exemple la courbe FAM une parabole du premier genre dont le parametre soit p, l'on aura (art. 10) p × A0, ou p× AP=FO2, ou PM2, ce qui est en termes algebriques pz=رy, d'où l'on tire

=

P

,&

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