Imágenes de páginas
PDF
EPUB

donneront AP (x). PM(y) :: AD (a−q). DE =

21 Mais par la proprieté du cercle DE=√az―z

[ocr errors]

ay

x

donca༢—༢= aayy

[ocr errors][merged small]

-,༠u༢=

ayy — 219, en

xx

x

xx

divifant chaque membre par a— L'on a auffi l'équation du Problême yy =; donc en mettant cette valeur de yy dans l'équation précedente, l'on aura -; d'où l'on tire z=x, ou AP=DB; donc AM EG, qui donne cette conftruction qui eft la plus fimple que l'on puiffe trouver.

[ocr errors]

Soit menée du point A une ligne droite quelconque AG qui rencontrera la circonference du demi cercle en E; & ayant pris fur AG, AM= EG; le point M fera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION.

PUISQUE (Cont.) AP = DB, AP étant

སྐྱ

x

;

DB

fera auffi, x; AD, a— x ; & l'on aura, à caufe des triangles semblables APM, ADE, AP. (x). PM(y) :: AD(a—x.DE == (par la Prop. du cercle) Vax —xx, d'où l'on tire l'équation du Problême. C. Q. F. D.

x

Diocles Inventeur de cette courbe, l'a nommée Cyffoïde.

1

EXEMPLE II.

Problême indéterminé.

F1 G. 98. 5- U N angle droit ABH, &un point fixe A fur un de fes côtez, étant donnez de pofition fur un Plan. Si l'on mene du point fixe A une ligne quelconque AG, qui rencontre le côté BH en G, & qu'on prenne GM GB. Il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe fur laquelle fe trouve le point M, & tous ceux que l'on trouvera de la mème

maniere.

[ocr errors]

Ayant fuppofé le Problême réfolu,on abaiffera du point M fur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé la donnée AB,a, & les indéterminées AP,x;PM,y; PB sera, a—x;&AM,√xx+yy, & les triangles femblables APM, ABG donneront AP(x). PM (y) : AB (a), BG= ~2 = (Hyp. ) GM, & à cause des paralleles PM, BG, l'on aura x(AP). 4—x (PB) :: √xx+yy ( AM ). "1⁄2

x

a

[ocr errors]

Viax -xx

ay

x

(GM, ouGB). d'où l'on tire y=+
, qui eft une
équation du troifiéme degré : car on avroit pû la divi-
fer par x avant que d'extraire la racine, & la courbe
par confequent eft du fecond genre.

Il feroit inutile de chercher une conftruction plus fimple que celle qui eft renfermée dans l'énoncé du Problême: car il eft impoffible d'en trouver de plus fimples. Voici celle que l'équation donne.

Soit prolongée AB en D, en forte que BD = AB, & décrit un demi cercle AKD fur le diametre AD. Ayant mené par un point quelconque Pla droite PK parallele BH, qui rencontrera le demi cercle en K, on prendra fur PK, PM quatriéme proportionnelle à PK, AP, & PB, & le point M fera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION.

DE'MONSTRATION.

xx

PAR la construction,& à cause du demi cercle,√zax—x ( PK ) . x ( AP) :: a — x ( PB). y ( PM),d'où l'on tire

ax-xx

[ocr errors]

C. Q. F. D.

On voit par cette équation que la courbe paffe des deux côtez de fon axe AB, & que les parties qui font de part & d'autre font égales & semblables.

Si l'on fait x=0, l'on aura auffi y=o, ce qui montre que la courbe paffe au point A, qui eft par confequent le fommet de fon axe; & la construction précedente auffi bien que l'énoncé du Problême, font connoître qu'elle coupe au point A fon axe AB à angles droits: car fi l'on fuppofe le point Pinfiniment proche de A, les points K & M en seront auffi infiniment proches. Or puifque (conft.) PK . AP :: PB . PM, & que PM est . pour ainfi dire nulle rapport PB; AP fera par confequent nulle par rapport à PK; & partant le point M eft pour ainsi dire dans la perpendiculaire à AB menée par A.

Si l'on fait y=o, l'on aura x = a; d'où il fuit que la courbe rencontre encore fon axe au point B, puifque y y eft nulle. Mais outre cela, je dis qu'elle le coupe en faisant avec lui un angle de 45 degrez: car fi l'on fuppofe que le point Pfoit infiniment proche de B, le point K fera infiniment proche du point H miileu de la circonference du cercle AKD; c'est pourquoi PK fera égale à PA,& par confequent PBPMà caufe de l'Analogie précedente PK.AP :: PB. PM; ainfi le petit triangle KPB fera rectangle & ifofcele, & partant l'angle PBM fera demi droit.

AR- xx

Viax- -xx

fait voir que

La même équaion y=+AP=x peut devenir plus grande que AB=a, fans que les valeurs de y deviennent imaginaires, ce qui fait voir que la courbe paffe au-delà de BH par rapport à A, de forte que la partie MB fe continue vers, & l'autre vers E.

Ee

Mais parcequ'alorsy devient negative de pofitive qu'elle

étoit, l'équation deviendra-y=+

[ocr errors]
[ocr errors]

- xx

[ocr errors]

V24x -XX

ou y

Ainfi pour décrire les parties de la courbe qui font au-delà de BH par rapport à A, ayant mené par un point quelconque p, la droite pk parallele à BH, l'on prendra pm quatrieme proportionnelle à pk, pA, & pB, & le point m fera à la courbe cherchée.

O

Si l'on augmentex (AP) jusqu'à ce qu'elle devienne =AD=2a, l'équation deviendra y = 246, qui fait voir DF menée par D parallele à BH, & prolongée part & d'autre à l'infini , ne rencontrera jamais la courbe, & lui fera par consequent afymptote.

de

[ocr errors]

Si l'on veut déterminer le point E, où la courbe coupe la circonference du demi cercle, il n'y a qu'à faire pm=pk, c'est-à-dire, y =√2ax xx, & mettant cette valeur de y dans l'équation précedente, l'on en tirera X = 2a, c'est-à-dire que le point E eft vis-à-vis le milieu de BD; & que par consequent l'arc ED, eft de 60 degrez.

3

[blocks in formation]

16. 99. 6. UNE ligne droite GH indéterminée de part & d'autre, & un point D hors de cette ligne, étant donnez de pofition fur un Plan. Si l'on ajuste l'axe AE d'une courbe quelconque FAM fur la ligne GH, & qu'on applique au point &qu'on fixe Dune regle DMF, indéfinie de part & d'autre du point D qui en tournant faffe mouvoir la courbe FAM en pouffant de côté ou d'autre un point déterminé C de fon axe, le long de la ligne GH, les interfections F & M de la regle DMF, avec la courbe FAM, décriront par ce mouvement deux aures courbes, ou deux parties d'une courbe KF & IM. L'on propofe de trouver des équations qui en expriment la nature.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, l'on menera du point D la ligne DE perpendiculaire à GH, ou à l'axe de la courbe FAM, & du point d'intersection M les lignes MP, M2 paralleles à DE & à AE: & ayant nommé les données DE, a; AC, b; & les indéterminées EP, ou QM, x; EQ, ou PM,y; AP, ; CP fera, z-b; DQ, a-y; & les triangles femblables DQM, MPC donneront a-y (DQ). x ( QM) y (MP). —b (PC), d'où l'on tire cette équation.

[ocr errors]

A. xy=az―yz— ab → by, qui eft une équation generale pour la courbe IM, telle que puiffe être la courbe FAM.

Si l'on change les fignes des termes de l'équation A, où y fe rencontre, l'on aura by, ou

[ocr errors]

xy=az+yz—ab

[ocr errors]

B. xy=az — yz+ ab + by, qui est une équation generale pour la courbe KF: car l'inconnue PM=y, de pofitive qu'elle étoit, devient negative FO, EP=x, devient EO, & AP=z devient 40. Ce qu'on peut aifément prouver en cherchant une équation dans cette fuppofition: car CO étant à prefent, b- -EC ༢. ; EC fèra

✖༢.

༢.

x+z― b ; & les triangles femblables DEC, FOC donneront a (DE). x + z—b (EC) :: j (FO). b—2 (CO), d'où l'on tire xy--az-yz+ab+by, qui est l'équation B.

La nature de la courbe FAM étant donnée, l'ồn aura une équation qui exprimera la relation de fes coordonnées AP, ou AO ( z ) & PM, ou OF, (y), d'où l'on tirera une valeur de que l'on fubftituera dans l'éz quation A, ou B; & l'équation qui en refultera exprimera le nature de la courbe IM, ou KF, & en déterminera genre.

le

Soit par exemple la courbe FAM une parabole du premier genre dont le parametre foit p, l'on aura (art. 10 ) px AO, ou p× AP=FO', ou PM2, ce qui eft

وو

en termes algebriques pz=jy, d'où l'on tire <=, &

༢=

[ocr errors]
« AnteriorContinuar »