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A LA

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*3

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GEOMETRIE.

215 donneront AP (*).PM(y) :: AD (a-X). DE=

ay, Mais par la propriecé du cercle DE=Vaz-22 donc

Lazyy + zzyy az-K=

ayy - 249

-, OU 7 divisant chaque membre par a —

par a—x. L'on a aussi l'équa, zion du Problême yy =

donc en mettant cette valeur de yy dans l'équation précedente, l'on aura E ༢=

d'où l'on tire z=x, ou AP=DB; donc AM= EG, qui donne cette construction qui est la plus simple que l'on puisse trouver.

Soit menée du point A une ligne droite quelconque AG qui rencontrera la circonference du demi cercle en E;& ayant pris sur AG , AM=EG ; le point M sera à la courbe cherchée.

DE'MONSTRATION. Puisque (Const. ) AP=DB, AP étant x ; DB sera aussi, *; AD, a-x; & l'on aura à cause des triangles semblables APM, ADE, AP.(*). PM(y) :: ADla— *.DE="=(par la Prop. du cer. cle) Vax - xx, d'où l'on tire l'équation du Probleme, ,

. C. Q. F. D.

Diocles Inventeur de cette courbe , l'a nommée Cyloïde.

ز

UIS

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EXEMPLE II.

.

Problême indéterminé. F1 G. 98.5. Un angle droit ABH, & un point fixe A sur un de ses

côtez, étant donnez de position sur un Plan. Si l'on mene du point fixe A une ligne quelconque AG, qui rencontre le côté BH en G , & qu'on prenne GM = GB. Il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle se trouve le point M, & tous ceux que l'on trouvera de la même maniere.

Ayant supposé le Problême résolu,on abaissera du point M sur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé la donnée AB,a; & les indéterminées AP,x;PM,y;PB sera, a~*; &AM, Vxx+yy , & les triangles semblables APM, ABG donneront AP (*): PM(y): AB (a). BG=

=(Hyp: ) GM, & à cause des paralleles PM, BG, l'on aura x(AP).-—*(PB) :: Vxx+yy ( AM). (GM ouGB). d'où l'on tire y=

qui est une équation du troisiéme degré : car on avroit pû la diviser par x avant que d'extraire la racine , & la courbe par consequent est du second genre.

Il seroit inutile de chercher une construdion plus simple que celle qui est renfermée dans l'énoncé du Probleme : car il est imposible d'en trouver de plus simples. Voici celle que l'équation donne.

Soit prolongée AB en D, en sorte que BD=AB, & décrit un demi cercle AKD sur le diametre AD. Ayant mené par un point quelconque P la droite PK parallele BH, qui rencontrera le demi cercle en K, on prendra lur PK, PM quatrieme proportionnelle à PK, ÁP, & PB, & le point M sera à la courbe cherchée.

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Vax

DE'MONSTRATION.

AXXX

y=+viax

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D E'MONSTRATION. Par la constru&ion,& à cause du demi cercle,Vzax– xx (PK). *( AP)::a— *(PB). y (PM),d'où l'on tire

.

C. l. F. D. On voit par cette équation que la courbe passe des deux côtez de son axe AB, & que les parties qui sont de part & d'autre sont égales & semblables. Si l'on fait x=0,

l'on aura aussi y=0, ce qui montre que la courbe passe au point A, qui est par consequent le sommer de son axe ; & la construction precedente aussi bien que l'énoncé du Problème , font connoître qu'elle coupe au point A son axe AB à angles droits: car si l'on luppose le point Pinfiniment proche de A, les points K & M en seront aussi infiniment proches. Or puisque ( const.) PK. AP :: PB. PM, & que PM est pour ainsi dire nulle rapport PB; AP sera par consequent nulle par rapport à PK; & partant le point M est pour ainsi dire dans la perpendiculaire à AB menée Si l'on fait y=0, l'on aura x=a; d'où il suit que

la courbe rencontre encore son axe au point B, puisque y y est nulle. Mais outre cela , je dis qu'elle le coupe en faisant avec lui un angle de 45 degrez: car si l'on suppose que le point P loit infiniment proche de B, le point K sera infiniment proche du point H miileu de la circonference du cercle AKD; c'est pourquoi PK sera égale à PA,& par consequent PB=PMà cause de l'Analogie

precedente PK. AP :: PB. PM; ainsi le petit triangle KPB sera ređangle & isoscele , & partant l'angle PBM

& sera demi droit.

La même équaion y=+126=*** AP= x peut devenir plus grande que AB=a, sans que les valeurs de y deviennent imaginaires, ce qui fait voir que la courbe passe au-delà de BH par rapport à A, de sorte que la partie MB se continue versi, & l'autre vers E.

Еe

par A.

MX-XX

fait voir que

2AX

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ou

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XX -AX

Vrax

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ZAA

qui fait

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Mais parcequ'alorsy devient negative de positive qu'elle étoit, l'équation deviendra −y=+

=

Ainsi pour décrire les parties de la courbe qui sont au-delà de BH par rapport à A, ayant mené par un point quelconque p, la droite pk parallele à BH, l'on prendra pm quatrieme proportionnelle à pk, PA , &pB , & le point m sera à la courbe cherchée.

Si l'on augmente x ( AP ) jusqu'à ce qu'elle devienne = AD = 2a , l'équation deviendra y =

=+ voir DF menée par D parallele à BH, & prolongée de part

& d'autre à l'infini ne rencontrera jamais la courbe , & lui sera par consequent asymptote.

Si l'on veut déterminer le point E, où la courbe coupe la circonference du demi cercle, il n'y a qu'à faire pm=pk, c'est-à-dire, y =Viax

xx, & mettant cette valeur de y dans l'équation précedente , l'on en tirera _ a, c'est-à-dire que le point E est vis-à-vis le mi

-. lieu de BD; & que par consequent l'arc ED, est de 60 degrez.

Ε Χ Ε Μ Ρ Ι Ε ΙΙΙ.

Problême indéterminé. $16.99: 6. Une ligne droite GH indéterminée de part & d'an

tre, & un point D hors de cette ligne , étant donnez de position sur un Plan. Si l'on ajuste l'axe AE d'une courbe quelconque FAM fur la ligne GH, & qu'on applique aa point fixe Dune regle DMF, indéfinie de part en d'autre du point D, qui en tournant fasse mouvoir la courbe FAM en poussant de côté ou ďautre un point déterminé C de fon axe,

le long de la ligne GH, les intersections For M de la regle DMF, avec la courbe FAM , décriront par ce mouvement deux asres courbes, ou deux parties d'une courbe KF IM. L'on propole de trouver des équations qui en expriment la nature.

X

2

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ز

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Ayant supposé le Problême résolu, l'on menera du point D la ligne DE perpendiculaire à GH, ou à l'axe de la courbe FAM , & du point d'intersection M les lignes MP, MQ paralleles à DE & à AE: & ayant nommé les données DE, a; AC, 6; & les indéterminées EP, ou QM, *; El, ou PM,Y; AP, X; CP sera, x-b; DQ;a—y; & les triangles semblables

, DOM, MPC donneront a -y(DQ).*1.2M) :: Y

(y (MP):8-b(PC), d'où l'on tire cette équation.

A. xy = an-ya- ab + by, qui est une équation generale pour la courbe IM, celle que puisse être la courbe FAM.

Si l'on change les lignes des termes de l'équation A, où y se rencontre , l'on aura

xy =a2+yz - ab by, ou

B. xy =-azm yz + ab + by, qui est une équation generale pour la courbe KF : car l'inconnue PM=Y, de positive qu'elle étoit, devient negative FO, EP=x, devient EO, & AP=zdevient ÂO. Ce qu'on peut aisément prouver en cherchant une équation dans cette supposition : car CO étant à present, 6- R; EC sera

b *+x-6; & les triangles semblables DEC, FOC donneront a (DE).*+<- 6 (EC) :: j (FO).6. -2 (CO), d'où l'on tire xy=-az-yz+ab+by, qui est l'équation B.

La nature de la courbe FAM étant donnée , l'on aura une équation qui exprimera la relation de ses coor: données AP, ou AO (2) & PM, ou OF, (y), d'où

у l'on tirera une valeur de z que l'on substituera dans l'équation A, ou B; & l'équation quien resultera exprimera le nature de la courbe IM , ou KF, & en déterminera

Soit par exemple la courbe FAM une parabole du premier genre dont le parametre soit 中,

l'on aura ( art. 10 ) P* AO, ou px AP=FO’, ou PM', ce qui est en termes algebriques pz=jy, d’où l'on tire <=",&

K

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le genre.

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