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les parties (CP) font nommées par l'inconnue de l'équation à qui on donne des valeurs arbitraires (CP) pour déterminer la grandeur de la ligne (PM) exprimée par l'autre inconnue, font nommées axes ou diametres de ces courbes.

14. Les mêmes parties (CP)font nommées abciffes ou coupées.

15. Les lignes (PM) exprimées par l'inconnue de l'équation dont on cherche la valeur en fuppofant l'autre inconnue comme donnée à chaque pofition du point P, & qui demeurent paralleles elles-mêmes, pendant que le même point P change de place, font nommées appliquées, ou ordonnées à l'axe CH.

16. Parceque 2M eft égale & parallele à CP, & CQ à PM, & que le point pris fur CG peut fervir à trouver le point M auffi bien que le point P; on peut prendre CG pour l'axe ou le diametre de la courbe, CO pour l'abciffe, ou coupée; & QM, pour l'appliquée ou ordonnée; c'est pourquoi on nommera CH, & CG, axes ou diametres conjuguez; CP & PM, ou CQ & QM enfemble coordonnées; le parallelogramme CPMQ formé par les coordonnées, le parallelogramme des coordonnées ; & le point C, le commencement, ou l'origine des coordonnées.

17. Les équations indéterminées ne fervent pas feulement à construire les Problêmes indéterminez, ou à décrire les courbes aufquelles elles fe rapportent, & dont elles expriment la nature. On pourroit encore par leur moyen conftruire tous les Problêmes déterminez: car il n'y a point de Problême déterminé, quelque fimple qu'il puiffe être, où pour le refoudre, on ne puifle employer deux lettres inconnues, & trouver par confequent deux équations indéterminées, qui étant conftruites enfemble, felon les regles qu'on donnera dans la fuite, les lignes droites ou courbes, aufquelles elles fe rapportent, détermineroient par leur interfection les points qui fatisferoient aux Problêmes, d'où l'on auroit tiré ces équa

tions. On pourroit auffi tirer de ces fortes de conftru ctions des démonftrations tres-fimples, à la maniere des Anciens. Mais il arriveroit quelquefois que les Problêmes ne feroient pas tous conftruits avec les lignes les plus fimples qu'ils le puiffent être, quoique d'ailleurs la conftrution en fût tres-fimple. Or felon M' Defcartes, & felon la raison même, c'est un vice en Geometrie d'employer dans la construction d'un Problême, des lignes plus compofées que celles qu'exige fa nature.

On trouvera dans l'art. 4. n°. 17, 18, 19, 20 & 21. des regles pour faire connoître quand un Problême determiné peut être conftruit par le moyen de deux équations indéterminées. En voici pour diftinguer les courbes les plus fimples d'avec les plus compofées.

18. C'est le degré d'une équation indéterminée qui fait connoître que la courbe dont elle exprime la nature eft plus ou moins fimple. Et le degré d'une équation est déterminé par la plus haute puiffance de celle des deux inconnues, qui éft la plus élevée, lorfqu'elles ne le font pas également, ou par le produit des deux inconnues quand il s'y rencontre, & qu'il a plus de dimenfions que les mêmes inconnues dans les autres termes. Ainfi lorfque dans une équation, l'une ou toutes les deux inconnues, foit qu'elles foient multipliées, ou par elles-mêmes, ou entr'elles, ont deux dimenfions; comme ax=yy, ou ax-xxyy, ou xy=ab; l'équation eft du fecond degré, & la courbe dont elle exprime la nature, eft du premier genre.

Lorsque l'une ou toutes les deux, ou leur produit, a trois dimenfions: comme x+axy=a3, ou x3 — -axy=y3, ou xxy = ayy + a3, l'équation est du troisième degré, & la courbe dont elle exprime la nature, eft du fecond genre, & ainfi de fuite. Or on convient que les courbes du premier genre font plus fimples que celles du fecond; & celles-ci plus que celles du troifiéme,&c. C'eft pourquoi ce feroit un vice de conftruire un Problême par le moyen d'une courbe du fecond genre, lorfqu'il peut

être con

ftruit par le moyen d'une courbe du premier. Il en eft ainfi des autres genres.

REMARQUE.

19. LORS QU'ON décrit une courbe par le moyen de

fon équation, on regarde une des lettres inconnues qu'elle renferme, comme donnée à chaque fois qu'on change fa valeur pour determiner la valeur correfpondante de l'autre; on doit donc auffi regarder à chaque fois l'équation, comme une équation déterminée ; & parceque les équations déterminées, font d'autant plus faciles à conftruire, que leurs inconnues ont moins de dimensions ; il eft à propos dans les équations indéterminées, où les inconnues ne font pas également élevées, de prendre pour conftante, celle qui a plus de dimenfions; & pour inconnue, celle qui en a moins.

Et puifque trouver un point d'une courbe, c'est réfoudre un Problême déterminé, lorfque dans une équation indéterminée, l'inconnue que l'on ne prend point pour conftante, n'aura qu'une dimenfion; la defcription de la courbe dépendra de la conftruction des Problê. mes fimples déterminez. Lorfque cette inconnue aura - deux dimenfions ; la defcription de la courbe dependra de la conftruction des Problêmes plans; lorfqu'elle en aura trois ou quatre, la defcription de la courbe dépendra de la conftruction des Problêmes folides; & lorfqu'elle en aura un plus grand nombre, la defcription de courbe dépendra de la conftruction des Problêmes li

neaires.

On remarquera auffi que toutes les operations que l'on fait en Geometrie, dépendent de la Geometrie plare, c'est-à-dire de la conftruction des équations déterminées du premier,& du fecond degré, c'eft pourquoi lorfque l'inconnue que l'on ne prend point pour conftante dans une équation indéterminée, aura plus de deux dimenfions, on ne pourra conftruire cette équation par elle-même, il la faudra changer en deux autres équations, où l'une

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des inconnues n'excede point deux dimensions; & par le moyen de ces deux équations, on décrira les deux courbes dont elles exprimeront la nature, & leur interfection fera un des points de la courbe dont l'équation propofee exprime la nature.

En déterminant le genre des courbes, des courbes, comme on a dit (n°. 17.) on trouvera que le premier genre n'en renferme que quatre, qui font le cercle, la parabole, l'ellipfe, & l'hyperbole. De forte que toutes les équations du fecond degré appartiennent à quelqu'une de ces quatre courbes. Mais comme le cercle, à caufe de fa def cription qui eft tres-fimple, paffe pour la plus fimple des quatre, ce feroit encore un vice en Geometrie, d'em. ployer une des trois autres, lorsque le cercle peut être employé.

C'est parceque l'on conftruit la plus grande partie des Problêmes de Geometrie par le moyen de ces quatre courbes, que je me fuis déterminé à donner dans cet Ouvrage les élemens de la parabole, de l'ellipfe & de l'hyperbole, les proprietez du cercle étant affez con nues d'ailleurs, afin de n'y fuppofer que les fimples éle

mensde Geometrie.

Les Geometres diftinguent deux fortes de courbes; les courbes Geometriques, & les courbes Méchaniques.

20. Les courbes geometriques, font celles dont les axes ou les diametres conjuguez, & les coordonnées font des lignes droites, qui peuvent toujours former un parallelogramme, que nous avons nommé (n°. 16.) le parallelogramme des coordonnées, & qui ont des équations reglées qui expriment le raport que ces coordonnées ont entr'elles ; & dont on peut trouver par moyen de ces équations, non feulement tous les points, mais tel point qu'on voudra,indépendamment des autres.

le

21. Les courbes méchaniques font celles dont les coordonnées ne font point toutes deux droites, ou, dont l'une des coordonnées les rencontrent en une infinité de points. Et comme dans l'équation qui exprime la nature d'une courbe, l'une des deux lettres inconnues doit avoir au

moins autant de dimensions, qu'il y a de points où la ligne exprimée par cette inconnue rencontre la courbe, il faudroit que dans les équations de ces courbes, au moins une des inconnues eut une infinité de dimensions, ce qui eft impoffible.

AVERTISSEMEN T.

22. Avant Mr Descartes, on ne prenoit pour Geometrique que ce qui fe faifoit par le moyen du cercle, & de la ligne droite, &tout ce qui fefaifoit par d'autres courbes étoit reputé méchanique. Mais Mr Descartes, & aprés lui tous les nouveaux Geometres, ont pris pour Geometrique, tout ce qui fe fait par le moyen des courbes Geometriques. Et les mêmes Auteurs ne prennent pour méchanique, que ce qui fe fait par le moyen des cour bes méchaniques..

IV.

OBSERVATIONS

Pour l' Application de l' Algebre à la Geometrie.

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OICI les Remarques ou Obfervations dont on a parlé dans le premier Article, no. 8. 1. Lorsqu'on veut réfoudre un Problême, il faut toujours employer deux lettres inconnues, pour nommer deux lignes indéterminées, qui ayent leur origine en un point fixe, & qui faffent toujours un angle conftant, c'est-à-dire, que la ligne nommée par l'une des lettres inconnues, croiffant ou diminuant; celle qui eft nommée par l'autre lettre inconnue, demeure toujours parallele à elle-même, ou à quelque ligne donnée. Ainfi, lorsqu'on a nommé (art. 3. n°. 9.) CP, x ; & PM,y; l'on a eu égard à cette Obfervation. De même le demi cercle AMB étant donné, s'il étoit question de déterminer le point M fur fa circonference; ayant abaiffé la perpendiculaire MP, l'on pourroit nommer indifferemment AP, ou CP, ou BP, x; car les points A, C, & B font fixes; & PM, y. Et fi le Problême eft déterminé, on trouvera deux équations indéterminées ; mais on n'en trouvera qu'une feule, s'il eft indéterminé.

2. Si l'on employe plus de deux inconnues, il faut qu'il y en ait deux qui expriment des lignes, dont la

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