Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors]

à la parabole,quiétant construit suivant les régles de l'art. 19, aura pour sommet le point C,& pour axe la ligne CD. Ayant mené d'un point quelconque P pris sur CD, une ligne PK parallele à BH, qui rencontrera la parabole en K, soit prise PM quatrième proportionnelle à BP, PA, & PK, & le point M sera à la courbe cherchée.

DE'MONSTRATION Elle est claire par l'équation précedente.

Cette construction, & l'équation à la courbe , font voir

que les deux parties de la courbe qui sont dans les angles HBD, IBD ne rencontrent point la parabole CK : car lorsque le point P se trouve au delà de B par rapport à A, BP est toujours moindre que PA; & par confequenc PK moindre que PM. On voit la même chose par l'équation : car si l'on fait l'appliquée PK de la parabole égale à l'appliquée PM de la courbe, c'est; à-dire V2ax

.-aa=y, en mettant cette valeur de y dans l'équation à la courbe, l'on en tirera x= a , qui marquent que ces deux appliquées ne peuvent être égales qu'en un seul point c, ou elles sont nulles , ou=0, & que par consequent la courbe ne rencontre la parabole qu'au seul point C.

On voit aussi de ce que PB. PA::PK. P.M que plus le point P s'éloigne de B, allant vers D, plus les points K & M s'approchent l'un de l'autre ; de sorte que si l'on

fi Suppose le point P infiniment éloigné de B, PB sera pour ainsi dire égale à PA; & partant aussi PK = PM, d'où il suit que la Parabole CK, & la courbe CMM, sont asymptotes

l'une à l'autre,

2

Ff

II.

fa

[ocr errors]

EXEMPLE V.

Problême indéterminé. DECRIRE la Courbe dont la nature eft exprimée par l'équation suivante , qui est du quatrieme degré, da

& ou les deux inconnues xidy, font élevées au-deffus du second x+- ayxx+byyx+cy:=o.

En assignant à y une valeur arbitraire, on regardera cette équation comme une équation déterminée du

quatrième degré, & formant , selon les regles de la Seccion precedente , une équation à la parabole , par exemple az = xx ; & mettant dans l'équation précedente pour xx sa valeur az, l'on aura aazg.-- aaya + byyx+ cy?

+ byyx + cyl =O, ou my

=0, qui est une autre équation à la parabole ; on combinera ces deux équacions a la parabole pour avoir une équation au cercle'; on constituera cette équation au cercle avec la premiere équation à la parabole , qui est la plus simple , & les points d'intersection détermineront les valeurs de x correspondantes à celles que l'on aura asfsgnées à y, que l'on prend pour l'axe de courbe qu'on veut décrire , &ayant appliqué ces valeurs de x, à l'endroit de l'axe où se termine la valeur assignée à y, l'on aura autant de points de la courbe cherchée

que

l'on aura trouvé de valeurs pour * positives & négatives ; & de cette maniere, en allignant fuccesivement differentes valeurs à y, l'on aura differens points de la même courbe. Où l'on remarquera que l'équation à la parabole az =xx, ne renfermant point l'indéterminée ý, la même parabole servira toujours dans tous les changemens de valeurs

que l'on assignera à y. Il n'y aura donc que le cercle dont la grandeur variera selon que l'on augmentera, ou que l'on diminuera la valeur de

y. L'on s'est déterminé à prendre y pour donnée , quoique ces dimensions soient moindres que celles de x, par

[ocr errors]

>

ولا

ceque y a un second terme dans l'équation, & x n'en a point, outre que la construction est la même, foit quelinconnue ait quatre dimensions, ou qu'elle n'en ait que trois.

Si les deux inconnues x & y avoient eu chacune un lecond terme, l'on auroit pris indifferemment l'une ou l'autre pour constante, & l'on auroit fait évanouir le second terme de celle que l'on auroit prise pour inconnue, afin de faire toujours servir le cercle dans la construction.

Si l'une des deux inconnues étoit élevée au-dessus du quatriéme degré, on décriroit encore la courbe

par

le moyen de la parabole & du cercle , si l'autre inconnue étoit du troisiéme ou du quatrième : mais on la décri. roit par le moyen du cercle seul , selon les regles de Section seconde , si elle n'avoit qu'une ou deux dimensions, en prenant dans l'un & l'autre cas celle qui excede le quatriéme degré pour constanto.

Si dans une équation indéterminée, les deux incon. nues excedent le quatrième degré, le cercle ne pourra plus servir pour décrire la courbe ; il faudra alors former une équation à la premiere parabole cubique , par le moyen d'une nouvelle inconnue, & de celle de l'équation dont on veut trouver les valeurs , c'est-à-dire , de celle que l'on ne prend point pour constante.

On substituera dans l'équation proposée, en la place des troisieme , sixiéme, neuvième , &c. puissances de l'inconnue que l'on ne prend point pour constante, leurs valeurs tirées de l'équacion à la parabole cubique; ce qui donnera une équation à une courbe qui fervira avec l'équation à la parabole cubique, à décrire la cour be dont l'équation proposée exprime la nature, conime on va voir' par l'exemple qui suit.

E x EMPLE VI.cz

Problême indéterminé. iz. DÉCRIRE la courbe dont la nature et exprimée par l'équation suivante, qui eft du sixiéme degré, & les in, connues x & y sont toutes deux élèvées au-dessus du quariéme,

xo+ ayxt --byyxi + bcy *+y' =0,

[ocr errors]
« AnteriorContinuar »