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à la parabole,qui étant conftruit fuivant les régles de l'art. 19, aura pour fommet le point C, & pour axe la ligne CD. Ayant mené d'un point quelconque P pris fur CD, une ligne PK parallele à BH, qui rencontrera la parabole en K, foit prife PM quatrieme proportionnelle à BP, PA, & PK, & le point M fera à la courbe cherchée.

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DEMONSTRATION.

L LE eft claire par l'équation précedente.

Cette construction, & l'équation à la courbe, font voir que les deux parties de la courbe qui font dans les angles HBD, IBD ne rencontrent point la parabole CK: car lorfque le point P fe trouve au delà de B par rapport à A, BP eft toujours moindre que PA; & par confequent PK moindre que PM. On voit la même chofe par l'équation: car fi l'on fait l'appliquée PK de la parabole égale à l'appliquée PM de la courbe, c'est à-dire V2ax —aa=y, en mettant cette valeur de y dans

l'équation à la courbe, l'on en tirera x=

a, qui mar.

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quent que ces deux appliquées ne peuvent être égales qu'en un feul point C, ou elles font nulles, ou 0, & que par confequent la courbe ne rencontre la parabole qu'au feul point C.

On voit auffi de ce que PB. PA :: PK. PM que plus le point P s'éloigne de B, allant vers D, plus les points K&M s'approchent l'un de l'autre ; de forte que fi l'on fuppofe le point P infiniment éloigné de B, PB sera pour ainfi dire égale à PA; & partant auffi PK = PM, d'où il fuit que la Parabole CK, & la courbe CMM, font afymptotes l'une à l'autre,

Ff

II.

EXEMPLE V.

Problême indéterminé.

DECRIRE la Courbe dont la nature eft exprimée par l'équation fuivante, qui eft du quatrième degré, & où les deux inconnues x &y, font élevées au-deffus du fecond x4 - ayxx+byyx+cy3=o.

En affignant à y une valeur arbitraire, on regardera cette équation comme une équation déterminée du quatrième degré, & formant, felon les regles de la Section précedente, une équation à la parabole, par exemple az = xx ; & mettant dans l'équation précedente pour xx fa valeur ༩༢ l'on aura aazz―aayz+byyx+ cy3

+ byyx+cy3

AA

=o, qui eft une autre

=༠,0u 《༢—༡༢ équation à la parabole; on combinera ces deux équa tions à la parabole pour avoir une équation au cercle; on conftituera cette équation au cercle avec la premiere équation à la parabole, qui est la plus fimple, & les points d'interfection détermineront les valeurs de x correfpondantes à celles que l'on aura affignées à y que l'on prend pour l'axe de courbe qu'on veut décrire, & ayant appliqué ces valeurs de x, à l'endroit de l'axe où fe termine la valeur affignée à y, l'on aura autant de points de la courbe cherchée que l'on aura trouvé de valeurs pour x pofitives & négatives; & de cette maniere, en affignant fucceffivement differentes valeurs à y, l'on aura differens points de la même courbe. Où l'on remarquera que l'équation à la parabole az

xx, ne renfermant point l'indéterminée, la même parabole fervira toujours dans tous les changemens de valeurs que l'on affignera à y. Il n'y aura donc que le cercle dont la grandeur variera felon que l'on augmentera, ou que l'on diminuera la valeur de y.

L'on s'eft déterminé à prendre y pour donnée, quoique ces dimensions foient moindres que celles de x, par

ceque y a un fecond terme dans l'équation, & x n'en a point, outre que la conftruction eft la même, foit que l inconnue ait quatre dimenfions, ou qu'elle n'en ait que trois.

Si les deux inconnues x & y avoient eu chacune un fecond terme, l'on auroit pris indifferemment l'une ou l'autre pour conftante, & l'on auroit fait évanouir le fecond terme de celle que l'on auroit prife pour inconnue, afin de faire toujours fervir le cercle dans la conftruction.

par

Si l'une des deux inconnues étoit élevée au-dessus du quatrième degré, on décriroit encore la courbe le moyen de la parabole & du cercle, fi l'autre inconnue étoit du troifiéme ou du quatrième mais on la décri

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roit par le moyen du cercle feul, felon les regles de

j

Section feconde, fi elle n'avoit qu'une ou deux dimenfions, en prenant dans l'un & l'autre cas celle qui exce de le quatrième degré pour conftante.

Si dans une équation indéterminée, les deux inconnues excedent le quatrième degré, le cercle ne pourra plus fervir pour décrire la courbe, il faudra alors former une équation à la premiere parabole cubique ; par moyen d'une nouvelle inconnue, & de celle de l'équation dont on veut trouver les valeurs, c'est-à-dire, de celle que l'on ne prend point pour conftante.

le

On fubftituera dans l'équation propofée, en la place des troifieme, fixième, neuvième, . puiffances de l'inconnue que l'on ne prend point pour conftante, leurs valeurs tirées de l'équation à la parabole cubique, ce qui donnera une équation à une courbe qui fervira avec l'équation à la parabole cubique, à décrire la courbe dont l'équation propofée exprime la nature, comme on va voir par l'exemple qui fuit.

EXEMPLE VI.

Problême indéterminé.

DECRIRE

12. DE CRIRE la courbe dont la nature eft exprimée par l'équation fuivante, qui eft du fixième degré, & où les inconnues & y font toutes deux élevées au-dessus du quariéme, x+ayx+ —byyx3 +bcy3x+y' =0,

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