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pofition foit telle qu'on vient de dire dans l'obfervation précedente; on placera enfuite les autres, comme on voudra. Mais on peut prefque toujours fe difpenfer d'en employer plus de deux, en exprimant les autres lignes inconnues, dont on a befoin, ou par la propriété du triangle rectangle, ou par celle des triangles femblables, 3. S'il y a un point donné B fur un des côtez AH FIG. 3. d'un angle donné GAH; la droite BC perpendiculaire à AH, ou parallele à quelque ligne donnée de pofition, fera donnée de grandeur & de pofition; comme auffi les intervalles AB, AC; & partant ces lignes peuvent être nommées par des lettres connues a, b, c. Mais fi le point B, eft cherché, les lignes AB, BC, AC feront indéterminées, ou variables: & l'on en pourra nommer deux AB & BC, ou AC & BC par deux lettres inconnues x, & y: car elles ont les qualitez requifes par la premiere Obfervation.

4. S'il y a un point donné D hors d'une ligne AB FIG. 5. donnée de pofition & de grandeur, la ligne DC perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de pofition, & les deux parties AC, CB, de la ligne AB feront auffi données de grandeur & de pofition. Mais fi le point D eft cherché, les lignes DC, AC, & CB seront variables, & l'on pourra nommer une des parties AC, de la donnée AB, x ; CDy; & CB ( ayant nommé AB, a) fera a-x.

5. Un angle GAH, & un point B au dedans de cet FIG. 6.7. angle (Fig. 6), ou au dehors (Fig. 7) étant donnez de pofition, les paralleles BC, BD, ou leurs égales AC, AD, feront auffi données,& on les pourra nommera & b: mais fi le point B eft cherché, les paralleles AC, AD, seront inconnues, & on les pourra nommer x, & y.

6. Ce feroit la même chofe, fi le point B étoit donné FIG. 8. ou cherché fur une courbe donnée HBG, dont AG, & AH font les deux axes, ou deux diametres conjuguez : mais le point B étant cherché, on pourroit nommer GC, & CB, ou HD, & DB, ou( fi la courbe rencon

troit encore CG prolongée en un point F) FC, & CB,

x & y; FIG. 8. 7. Lorsqu'on détermine par une operation repetée, plufieurs points B fur un plan où il y a des lignes qui fervent à déterminer tous ces points, & qu'on veut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe fur laquelle les mêmes points fe doivent rencontrer, il faut toujours nommer par une lettre inconnue, quelque ligne; comme BC, qui part d'un des points B, & qui étant parallele à quelque ligne donnée AH, rencontre une autre ligne AG donnée de pofition en quelque point C,& nommer par une autre lettre inconnue quelque partie de la ligne AG comprise entre le point variable C, & quelque point fixe A, ou G.

FIG. 9.

8. Un angle GAH, & un point fixe D hors de cet angle, étant donnez de pofition fur un plan; s'il s'agit de mener une ligne DEF par quelque point cherché E ou F fur un des côtez de cet angle, dans de certaines conditions, les parties AE, AF seront inconnues, & pourront être nommées x, &y: mais les paralles DB, DC, aux côtez AH, AG, ou leurs égales AC, AB seront données, & pourront être nommées, a, & b.

prece

9. Si l'on eft obligé de tirer des lignes autrement que felon les regles contenues dans les Obfervations dentes; on les tirera de maniere qu'elles forment plûtôt dans la figure, fur laquelle on opere, des triangles femblables, que des triangles rectangles: car les triangles femblables donnent des équations plus fimples que les triangles rectangles.

10. La proprieté du triangle rectangle, & des triangles femblables, donnent prefque toutes les équations dans lesquelles on tombe, en appliquant l'Algebre à la

Geometrie.

11. Les hypothenufes des triangles rectangles doivent toujours être exprimées par le moyen des deux côtez qui forment l'angle droit, à moins qu'elles ne foient données de grandeur. Ainfi les deux côtez étant nommez x

&

&y, l'hypothenuse sera √ xx➡yy.

12. On ne doit jamais nommer les lignes égales, ou qui doivent être égales, par des lettres differentes.

13. S'il y a de la difficulté à employer, & à nommer des lignes qui femblent neceffaires à la refolution d'un Probleme, on pourra employer en leur place d'autres lignes, pourvû qu'elles ayent entr'elles le même rapport. Par exemple, en fuppofant que BC, & DE foient paralleles, s'il s'agit d'employer AB, & BD; & que AC, CE foient nommées; on pourra employer AC, & CE au lieu de AB, & BD; puisque AC. CE :: AB. BD.

&

14. On abrege le calcul, & on trouve fouvent des équations plus fimples, en prenant pour l'origine des inconnues le point qui divife par le milieu une ligne donnée de grandeur : & l'on tombe par ce moyen dans un principe tres-connu, & qui eft fouvent d'un grand fecours dans l'Application de l'Algebre à tous les ufages.

Le voici.

15. La moitié de la fomme de deux grandeurs, plus la moitié de leur difference est égale à la plus grande; & la moitié de la fomme de deux grandeurs, moins la moitié de leur difference eft égale à la plus petite. Ainfi, nommant la fomme 2 m, & la difference 2n; la plus grande fera m+n, & la plus petite m-n.

16. Il n'eft pas neceffaire de prendre tant de précautions, pour nommer les lignes de la figure fur laquelle on opere, quand il s'agit de démontrer un Theorême: car comme il n'y a point de lignes dont il foit neceffaire de déterminer la longueur, on les peut toutes nommer par telles lettres qu'on voudra, connues, ou inconnues: mais on doit toujours fuivre les regles précedentes pour tirer les lignes neceffaires..

On confidere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes à refoudre. Et en ce cas, on peut fuivre les principes précedens.

D

FIG. 3.

AVERTISSEMENT.

Toutes ces Obfervations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans l Application de l' Algebre à laGeometrie: mais la premiere & la feptième font les plus confiderables de toutes 3 car en fuivant ce qui y eft prefcrit, les Problèmes indéterminez, feront toujours refolus par la voye la plus fimple, ou plutot par la feule voye naturelle; c'est pourquoi fi en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la pofition n'eft point conforme à ce qui eft dit dans ces deux Obfervations. Mais parcequ'on ne peut pas conftruire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raisons que l'on a dites art. 3. n°. 17 3 on eft quelquefois obligé d'abandonner ces deux Obfervations. Voici à peu près ce qu'il y a à obferver, quand on les veut fuivre.

17. Quand en réfolvant un Problême avec deux inconnues, fuivant la premiere Obfervation, on trouvera deux équations indéterminées; le Problême fera déterminé, & on le pourra conftruire avec ces deux équations, fi elles fe rapportent toutes deux à la ligne droite ou l'une à ligne droite, & l'autre au cercle, ou toutes deux au cercle ; car il n'y a point de lignes plus fimples que la droite, & la circulaire.

18. Si l'une de ces deux équations indéterminées se rapporte au cercle, & que l'autre foit du feconddegré, il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues, & fi l'équation déterminée qui en refulte, n'eft point du premier, ou du fecond degré, on examinera fi elle ne peut point être divifée par quelque binome compofé de quelqu'un des divifeurs du dernier terme, & d'une puiffance du premier qui lui foit égale, pour la réduire, fi cela fe peut, à une équation déterminée du fecond degré. Si par ce moyen on n'y réuffit point, il faudra, fi elle eft du quatrième degré, faire évanouir le fecond

terme;la transformer en une équation du troifiéme,& voir fi elle ne peut point enfuite être divifée par quelque bino me, compofe d'un des divifeurs de deux dimenfions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renfer! me; & la réduire par ce moyen à une équation du fecond degré. Mais fi l'on ne trouve aucun binome plan, qui puiffe divifer l'équation transformée, le Problême fera folide, & on pourra le conftruire avec les deux équa tions indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuvième Section; & la construction fera même beaucoup plus fimple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation déterminée, qui refulte de l'évanouif fement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les conftructions des Problêmes folides de la neuviéme Section, avec celles de la dixième.

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19. Si par la feule divifion l'équation déterminée peut être réduite à une équation du fecond degré, le Prolême fera plan, & on le conftruira par le moyen de l'équation réduite à deux dimensions, comme on enfeignera dans la Section fuivante.

Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du fecond degré, il faut employer la transformation, on pourroit encore le conftruire par le moyen de l'une des deux équations du fecond degré que l'on en tire: mais la conftruction en fera beaucoup plus fimple, fi en abandonnant ce qui eft dit dans la premiere Obfervation, on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, felon qu'on le jugera neceffaire, & que par: ce moyen on puiffe venir à une équation déterminée du fecond degré. Et fi l'on n'y réuffit pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême eft fimple, on peut trouver une équation fimple, & conforme à fa nature, foit d'une maniere, foit

d'une autre.

20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se rapporte point au cercle, & n'y puiffe être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement;

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