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prenant y pour conftante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, l'on fera aaz=x3; donc atzz: donc a1zz=x6, & fubftituant dans l'équation propofée en la place de x6, & de x3 leurs valeurs azz, & aaz, l'on aura celle qui fuit.

a^zz → a3z yx — aabzyy → bcy3x + y = 0, qui est une équation ou l'inconnue x, n'a qu'une dimenfion ; & que l'on conftruira par confequent par les regles de la Section feconde, & les Interfections avec la parabole cubique, que l'on décrira auffi par les mêmes regles puifque l'inconnue z, n'a auffi qu'une dimenfion,donneront les valeurs de x correfpondantes à celles que l'on aura affignées ày. Il en est ainsi des autres équations plus compofées.

Mais au refte de quelque genre que puiffe être une courbe, il est rare que l'on ne puiffe pas trouver une maniere de la décrire,plus fimple que celle qu'on tire de fon équation, en fuivant les regles prefcrites n° 2 & 3, ou

autrement.

13.

nue,

COROLLAIRE.

IL L eft clair qu'on peut conftruire les équations déterminées où l'inconnue eft élevée au-deffus du quatriéme degré comme on vient de dire, en formant une équation à la parabole cubique avec une nouvelle incon& celle de l'équation: car aprés les fubftitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l'équation propofée n'excedera pas fe fecond degré ; & la courbe dont cette équation exprime la nature, & la parabole cubique étant décrites, leurs interfections determineront les valeurs ou racines de l'inconnue de l'équation propofée. Il est pourtant certain qu'un Problême de cette nature fera toujours conftruit plus élegammene, lorfqu'ayant employé deux inconnues pour le réfoudre, on le conftruira avec les deux premieres équations dans lesquelles on fera tombé à la manière de ceux de la Section neuvième, comme on va voir par l'exemple qui fuit.

C

EXEMPLE

De la conftruction des Problèmes dont les équations déterminées excedent le quatrième degré.

Problême.

Le

14. UN angle droit ABH, & un point fixe Å fur un de fes côtez, étant donnez; il faut trouver au-dedans un point M, d'où ayant abbaiffe fur AB la perpendiculaire MP, rectangle AP × PM, foit égal à AB'; & qu'aynt mené du point A par le même point M la droite AMC qui rencontre BH en C, AM foit égale à BC.

X

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la don. née AB, a; & les inconnues AP ̧x ; PM, ; AM fera √xx+yy; & l'on aura par la première condition du Problême xy aa, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes.

A caufe des triangles semblables APM, ABC, l'on

a, AP ( x ).PM (y) :: AB (a). BC=

By

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(Hyp.)

xxyy = AM, ou en quarant les deux membres, & multipliant par xx, aayy=x++ xxyy, qui eft une équation à une courbe du troifiéme genre, d'où faifant évanouir y par le moyen de l'équation à l'Hyperbole xy= aa, l'on aura a =x+a^xx, qui eft une équation déterminée du fixiéme degré.

Pour la conftruire par le moyen de l'équation déterminée a• = x2 + atxx, foit fait aaz=x', qui eft une équation à la premiere parabole cubique; & mettant dans l'équation ao=x+a1xx, en la place de x' fa valeur aaz, elle deviendra aa=zz+xx, qui eft une équa

tion au cercle.

FIG.103.

Soit prefentement F l'origine des inconnues des deux FIG. 104. équations au cercle, & à la parabole cubique z; qui và vers G, & x qui lui eft perpendiculaire, & va en haut. Si du point F pour centre & pour rayon AB —a, l'on dé

crit un cercle; & fur la même FG pour axe, dont le fommet eft F, & le parametre a, la parabole cubique KFN; elle coupera le cercle en deux points K & N, & la perpendiculaire NO fera la valeur pofitive de x, & KL la valeur negative qui fera egale à la positive, de FIG. 103. forte qu'ayant fait AP=NQ, le point Pfera un des 104. points cherchez.

DEMONSTRATION.

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aaz, où

FQ2=QN2,

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x=

P
A R la proprieté de la parabole cubique (art. 9 no 18 )
FQ × aa=QN3, ou en termes algebriques aaz=x3
qui montre que cette parabole, n'eft pas femblable à la
parabole ordinaire, & que fes deux parties vont l'une
d'un côté, & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un sens
contraire: car l'on tire de fon équation x Vaaz, qui
fait voir que x, n'a qu'une feule valeur qui eft pofitive:
mais fi l'on fait z negative, l'on aura x3-
x n'a qu'une feule valeur qui eft negative. Maintenant
par la proprieté du cercle, l'on a FI
ou en termes algebriques aa —
a*xx, qui est l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F. D.
Mais pour réfoudre entierement le Problême, il faut
encore déterminer la grandeur de PM=y;
c'est pour
quoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xyaa, qui
eft la plus fimple des deux premieres qu'on a trouvées,
l'on en tirera y=, qui est une équation déterminée
du premier degré à caufe de x dont la valeur vient d'ê
tre trouvée; c'est pourquoi fi l'on prend PM troifiémę
proportionnelle à AP & à AB, Îe point M fera ce-
lui que l'on cherche.

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x=xx,

On pourra auffi conftruire cette équation a«=x2+a*xx par le moyen du cercle & de la parabole ordinaire: car ayant fait af xx, l'équation déterminée deviendra a

ß3+aaf, en mettant pour xx fa valeur af, qui est une

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l'on conftruira par

les

par

équation du troifiéme degré, que
regles de la Section neuvième ; & aprés avoir trouvé
ce moyen la valeur de f, l'on aura celle de x AP qui
eft une moyenne proportionnelle entre a &: cela fait,
il faudra encore déterminer la grandeur de PM = y
comme on vient de faire.

Pour conftruire prefentement le Problême avec les deux premieres équations xy = aa, & aayy = x2+ xxyy; l'origine des inconnues x & y, dans l'une & dans l'autre, étant au point, x allant vers B, & y parallele FIG. 103. à BH; ayant fait BH — AB = a, & mené AS parallele à BH, l'on décrira par A entre les afymptotes AB, AS l'Hyperbole HM.

L'énoncé du Problême donne une description tresfimple de la courbe AM dont l'équation aayy = x+ ➡ xxyy exprime la nature, & cette courbe coupera l'Hyperbole HM au point cherché M. La Démonftration en eft claire, & l'on voit que cette conftruction réfout pleinenement, naturellement, & tres-élegamment le Problê

me.

On pourroit regarder ce Problême, comme un Pro me folide, puifqu'on la construit avec le cercle, & la parabole ordinaire: mais on a jugé à propos de le faire fervir d'exemple pour la conftruction des Problêmes dont les équations excedent le quatrième degré.

Si on examine la nature de la courbe AM par le moyen de fon équation, l'on en tirera une defcription affez fim. ple, & l'on trouvera qu'elle touche fon axe AB au point A, & qu'elle a pour afymptote la droite BH, &c.

REMARQUES GENERALES.

Sur la conftruction des Problèmes déterminez & indéterminez: 15. L E s Problêmes déterminez tels qu'ils puissent être, ont toujours autant de folutions que les deux lignes,droi tes ou courbes, qui fervent à les réfoudre, ont de points communs ou d'interfections; & fi ces deux lignes ne fe ren

contrent point, le Problême fera impoffible.

On pourroit auffi se fervir de l'équation à l'Hyperbolexy= ➡aa, au lieu de l'équation à la parabole ay = xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troifiéme & du quatrième degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxy = a3, au lieu de l'équation à la parabole cubique aayx, pour conftruire les Problêmes déterminez dont les équations excedent le quatrième degré. Enfin les Problêmes déterminez conftruits de la maniere que nous avons propofée,seront toujours conftruits avec les courbes les plus fimples qu'ils le puiffent être.

16. Pour décrire les courbes du premier genre, on a réduit leurs équations à un certain état on n'a point fait la même chose pour décrire celles des genres plus compofez, parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la pofition de leurs axes, ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équa tions en deviendront plus fimples; & par confequent auffi leur conftruction. Or ces changemens fe font de la même maniere que ceux qui fe font par les réductions,comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitième en égalant une de leurs inconnues ou une quantité connue à une nouvelle inconnue, & fubftituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme fera dffierente de la premiere. On peut faire la même chofe fur l'autre inconnue.

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On peut encore non-feulement changer l'origine des coordonnées mais on peut auffi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plufieurs endroits de la même Section huitième.

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SECTION

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