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En prenant y pour constante, & la ligne qu'elle exprine pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, l'on fera aaz=x}; donc atk=x6, & substituant dans l'équation proposée en la place de x6, & de xi leurs valeurs atz<, & aaz, l'on aura celle qui suit. a+23+ a'zyx aabz yy + bcy x + yo=0, qui est une བ་

' équation ou l'inconnue x, n'a qu'une dimension ; & que l'on construira par consequent par les regles de la Section seconde , & les Intersections avec la parabole cubique, que l'on décrira aussi par les mêmes regles puisque l'inconnuex, n'a ausli qu'une dimension,donneront les valeurs de x correspondantes à celles que l'on aura assignées

Il en est ainsi des autres équations plus composées. Mais au reste de quelque genre que puisse être une courbe, il est rare que l'on ne puisse pas trouver une maniere de la décrire plus simple que celle qu'on tire de son équation; en suivant les regles prescrites n° 2 & 3, ou autrement.

COROLLAIRE. 13.

Il est clair qu'on peut construire les équations dé. terminées où l'inconnue est élevée au-dessus du quatriéme degré comme on vient de dire , en formant une équation à la parabole cubique avec une nouvelle inconnue, & celle de l'équation : car aprés les substitutions l'on

pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l'équation proposée n'excedera pas le second degré ; & la courbe dont cette equation exprime la nature , & la parabole cubique étant décrites, ļeurs intersections determiperont les valeurs ou raci. nes de l'inconnue de l'équation proposée. Il est pourtant certain qu'un Problême de cette nature sera toujours construit plus élegamment, lorsqu'ayant employé deux inconnues pour le résoudre , on le construira avec les deux premieres équations dans lesquelles on sera combé à la maniere de ceux de la Section neuviéme , comme on va voir par l'exemple qui suit.

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FIG.103.

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ز

Vxx+yy;

EXEMPLE
De la constručtion des Problèmes dont les équations déterminées

excedent le quatnéme degré.

Problême. 14. UN angle droit ABH, &a un point fixe A sur un de ses côtez, étant donnez; il faut trouver au-dedans un point M, d'ou ayant abbaisé sur AB la perpendiculaire MP, le rectangle AP PM,

Joit égal à AB'; & qu'aynt mené du point A par le même point M la droite AMC qui rencontre

A
BH en C, AM soit égale à BC.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la don, née AB, a ; & les inconnues AP , *; PM,y; AM fera

& l'on aura par la premiere condition du Prò. blême xy =

xy=aa , qui est une équation à l'Hyperbole par rapport à ses asymptotes.

A cause des triangles semblables APM; ABC, l'on a, AP (*).PM (y)::ABla).BC= = ( Hyp. )

xx+yy = AM , ou en quarant les deux membres, & multipliant par xx , aayy=x*-+ xxyy, qui est une équation à une courbe du troisiéme genre d'où faisant éva

, nouir y par le moyen de l'équation à l'Hyperbole xy= ad,

l'on aura a' = x + a*xx , qui est une équation dé. terminée du sixiéme degré.

Pour la construire par le moyen de l'équation déterminée av = x + a*xx, soit fait aaz = x, qui est une équation à la premiere parabole cubique ; & mettant dans l'équation a'=x* +a+xx, en la place de x sa valeur aaz, elle deviendra aa=2+xx, qui est une équation au cercle.

Soit presentement F l'origine des inconnues des deux Fig. 1048 équations au cercle, & à la parabole cubique R; qui và vers G, &x qui lui est perpendiculaire , & va en haur. Si du point F pour centre & pour rayon AB=a,

6

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sa, l'on dé

F f iij

elle coupera

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crit un cercle ; & fur la même FG pour axe , dont le
sommet est F, & le parametre a,
&

la parabole cubique KFN;

le cercle en deux points K & N, & la perpendiculaire NQ sera la valeur positive de x, &

KL la valeur negative qui sera égale à la positive, de F16.103. sorte qu'ayant fait AP=NQ, le point P sera un des 104. points cherchez.

DEMONSTRATION.
Par la proprieté de la parabole cubique (art. 9 n° 18)
FQ xaa=QN, ou en termes algebriques aaz

=
qui montre que cette parabole, n'est pas semblable à la
parabole ordinaire, & que ses deux parties vont l'une
d'un côté , & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un sens
- contraire: car l'on tire de son équation x = Vaaz , qui
fait voir que x, n'a qu'une seule valeur qui est positive :
mais si l'on fait z negative , l'on aura x'=-
2

où x n'a qu'une seule valeur qui est negative. Maintenant par la proprieté du cercle , l'on a FI - FQ=QN, ou en termes algebriquesaa — = xx, ou a' —- *°= a*xx, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

Mais pour résoudre entierement le Problême, il faut encore determiner la grandeur de PM=y; c'est pourquoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xy = aa , qui est la plus simple des deux premieres qu'on a trouvées, l'on en tirera y=, qui est une équation déterminée

= du premier degré à cause de x dont la valeur vient d'ê. tre trouvée ; c'est pourquoi li l'on prend PM troisiéme proportionnelle à® AP & à AB, le point M sera celui que l'on cherche.

On pourra aussi construire cette équation assxtatxx par moyen du cercle & de la parabole ordinajre: car ayant fait al=xx, l’equation déterminée deviendra al =f' + aas, en mettant pour xx fa valeur as, qui est une

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le

&

équation du troisiéme degré, que l'on construira

par

les regles de la Section neuvieme; & aprés avoir trouve par ce moyen la valeur des, l'on aura celle de x= AP qui est une moyenne proportionnelle entre a &/: cela fait, il faudra encore déterminer la grandeur de PM=y comme on vient de faire.

Pour construire presentement le Problème avec les deux premieres équations xy = aa , &

aayy xxyy ; l'origine des inconnues x

dans l'une & dans l'autre, étant au point A , x allant vers B , & y parallele F16.103. à BH; ayant fait BH =AB=a,

=a,& mené AS parallele à BH , l'on décrira par A entre les asymptotes AB, AS l’Hyperbole HM.

L'énoncé du Problême donne une description tresfimple de la courbe AM dont l'équation aayy = x++ xxyy exprime la nature, & cette courbe coupera l'Hyperbole H M au point cherché M. La Démonstrationenest claire, & l'on voit que cette construction résout pleinenement, naturellement, & tres-elegamment le Proble

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X

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me.

On pourroit regarder ce Problême , comme un Pro's me solide , puisqu'on la construit avec le cercle, & la parabole ordinaire : mais on a jugé à propos de le faire fervir d'exemple pour la construction des Problèmes donc les équations excedent le quatrième degré.

Sion examine la nature de la courbe AM par le moyen de son équation, l'onen tirera une description assez sím. ple, & l'on trouvera qu'elle touche son axe AB au point A, & qu'elle a pour asymptote la droite BH, &c.

c. REMARQUES GENERAL ES. Sur la construction des Problèmes déterminez & indéterminez. 15. L E s Problêmes déterminez tels qu'ils puissent être, ont toujours autant de solutions que les deux lignes,dros tes ou courbes, qui servent à; les résoudre, ont de points communs ou d'intersections;& si ces deux lignes ne le ren

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contrent point, leProblême sera impossible.

On pourroit aussi se servir de l'équation à l'Hyperbolexy=aa, au lieu de l'équation à la parabole ay=xx,

= pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troisiéme & du quatrième degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxy=a} , au lieu de l'équation à la parabole cubique aay=x, pour construire les Problèmes déterminez dont les équations excedent le quatriéme degré. Enfin les Problemes déterminez construits de la maniere que nous avons proposéc,seront toujours construits avec les courbes les plus simples qu'ils le puissent être.

16. Pour décrire les courbes du premier genre , on a réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chose pour décrire celles des genres plus compofez , parcequ'il y en a une trop grande quantiré dans chaque genre.

Il

peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine , ou la position de leurs axes, ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équa. tions en deviendront plus simples; & par consequent aussi leur construction. Or ces changemens se font de la même maniere que ceux qui se font par les réductions.com me on a vû dans toute l'étendue de la Section huitiéme en égalant une de leurs inconnues + ou — une quantité connue à une nouvelle inconnue, & substituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme sera dffierente de la premiere. On peut faire la même chose sur l'autre inconnue.

On peutencore non-seulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut ausli changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plusieurs endroits de la même Section huitième,

SECTION

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