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à y:

En prenant y pour constante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, l'on fera aaz=x}; donc atk=x6, & substituant dans l'équation proposée en la place de x6, & de xi leurs valeurs a+23, & aaz, l'on aura celle qui suit. a+23+ a'z yx — aabz yy + bcyx + yo

- aabz yy + bcy*x + yo=o, qui est une équation ou l'inconnue x, n'a qu'une dimension; & que l'on construira par consequent par les regles de la Section seconde , & les Intersections avec la parabole cubique, que l'on décrira aussi

par les mêmes regles puisque l'inconnue z n'a aussiqu’une dimension,donneront les valeurs de x correspondantes à celles que l'on aura assignées

Il en est ainsi des autres équations plus composées. Mais au reste de quelque genre que puisse être une courbe, il est rare que l'on ne puisse pas trouver une maniere de la décrire,plus simple que celle qu’on tire de son équation, en suivant les regles prescrites n° 2 & 3, ou autrement.

COROLLAIR E. I 13. L est clair qu'on peut construire les équations déterminées où l'inconnue est élevée au-dessus du quatrieme degré comme on vient de dire , en formant une équation à la parabole cubique avec une nouvelle inconnue, & celle de l'équation : car aprés les substitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l'équation proposée n'excedera pas le second degré ; & la courbe dont cette équation exprime la nature , & la parabole cubique étant décrites, ļeurs intersections decermiperont les valeurs ou 'raci. nes de l'inconnue de l'équation proposée. Il est pourtant certain qu'un Probleme de cette nature sera toujours construit plus élegammené, lorsqu'ayant employé deux inconnues pour le résoudré , on le construira avec les deux premieres équations dans lesquelles on sera combé à la maniere de ceux de la Section neuvieme, comme on va voir par l'exemple qui suit.

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FIG.103.

EXEMPLE
De la construction des Problèmes dont les équations déterminées

excedent le quatréme degré.

Problême. 14 UN angle droit ABH, & un point fixe A sur un de ses côtez, étant donnez; il faut trouver au-dedans un point M, d'où ayant abbaissé sur AB la perpendiculaire MP, le reftangle AP ~ PM, soit égal à AB'; & qu'aynt mené du point A par le même point M la droite AMC qui rencontre BH en C, AM soit égale à BC.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la don. née AB, a ; & les inconnues AP, * ; PM,y; AM fera Vxx+yy; & l'on aura par la première condition du Pròn blême xy =aa , qui est une équation à l'Hyperbole par rapport à ses asymptotes.

À cause des triangles semblables APM; ABC, l'on a, AP (*).PM (y)::AB(a).BC= = ( Hyp. )

xx+yy = AM, ou en quarant les deux membres, & multipliant parxx , aayy=x*-+ xxyy, qui est une équation à une courbe du troisiéme genre, d'où faisant évanouir y par le moyen de l'équation à l'Hyperbole xy= aa, l'on aura a =x' + a*xx , qui est une équation dé. terminée du sixiéme degré.

Pour la construire par le moyen de l'équation déterminée ao =

x* + a+xx, soit fait aaz= x, qui est une équation à la premiere parabole cubique ; & mettant dans l'équation a'=x® + a*xx, en la place de x' sa valeur aaz, elle deviendra aa=2+xx, qui est une équa. tion au cercle.

Soit presentement F l'origine des inconnues des deux F1g. 1043 équations au cercle, & à la parabole cubique R; qui va vers G, &x qui lui est perpendiculaire, & va en haur. Si du point F pour centre & pour rayon AB =a, l'on dé

F f iij

x

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Vaaz, qui

crit un cercle ; & sur la même FG pour axe , dont le sommet est F, & le parametre a , la parabole cubique KFN ; elle coupera le cercle en deux points K & N, & la perpendiculaire NQ sera la valeur positive de x, &

KL la valeur negative qui sera égale à la positive, de F16.103. sorte qu'ayant fait AP=NQ, le point P sera un des 104. points cherchez.

DEMONSTRATION. PA A R la proprieté de la parabole cubique (art. 9 n° 18) FQ x aa= ON, ou en termes algebriques aaz= qui montre que cette parabole, n'est pas semblable à la parabole ordinaire , & que ses deux parties vont l'une d'un côté, & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un sens contraire: car l'on tire de son équation x = fait voir que x, n'a qu'une seule valeur qui est positive: mais si l'on fait z negative , l'on aura x' =* n'a qu'une seule valeur qui est negative. Maintenant par la proprieté du cercle , l'on a FI - FQ=ON, ou en termes algebriques aa — 3= xx, ou a' 2*xx, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q.F.D. Mais

pour résoudre entierement le Problême, il faut encore déterminer la grandeur de PM=Y; quoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xy = aa, qui est la plus simple des deux premieres qu'on a trouvées, l'on en tirera y=., qui est une équation déterminée du premier degré à cause de x dont la valeur vient d'ê. tre trouvée ; c'est pourquoi fi l'on prend PM troisiéme proportionnelle à AP & à AB, le point M fera ce. lui que l'on cherche.

On pourra aussi construire cette équation assx+atxx par

moyen du cercle & de la parabole ordinajre: car ayant fait al=xx,

=xx, l’equation determinée deviendra a} = f +aas en mettant pour xx fa valeur as, qui est une

aaz, où

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c'est pour

le

équation du troisiéme degré, que l'on construira

par

les regles de la Section neuvieme; & aprés avoir trouve

par ce moyen la valeur des, l'on aura celle de x= AP qui est une moyenne proportionnelle entre a & /: cela fait, il faudra encore déterminer la grandeur de PM=y comme on vient de faire.

Pour construire presentement le Problème avec les deux premieres équations xy = aa , & aayy = x++ xxyy; I'origine des inconnues x & y, dans l'une & dans l'autre, étant au point A , x allant vers B , & y parallele Fig. 10%. à BH; ayant fait BH = AB=a, & mené AS parallele à BH , l'on décrira par A entre les asymptotes AB, AS l'Hyperbole HM.

L'énoncé du Problême donne une description tressimple de la courbe AM dont l'équation aayy = x++ xxyy exprime la nature, & cette courbe coupera l'Hyperbole HM au point cherché M. La Démonstration enest claire, & l'on voit que cette construction résout pleinenement , naturellement, & tres-elegamment le Problê.

On pourroit regarder ce Probleme , comme un Pro me solide , puisqu'on la construit avec le cercle, & la parabole ordinaire: mais on a jugé à propos de le faire fervir d'exemple pour la construction des Problemes donc les équations excedent le quatrième degré.

Sion examine la nature de la courbe AM par le moyen de son équation, l'onen tirera une description assez sím. ple, & l'on trouvera qu'elle couche son axe AB au point A, & qu'elle a pour asymptote la droite BH, &c.

REMARQUES GENERAL ES. Sur la construction des Problèmes déterminez & indéterminez. is. L E s Problêmes déterminez tels qu'ils puissent être, ont toujours autant de solutions que les deux lignes,drojtes ou courbes, qui servent à; les résoudre, ont de points communs ou d'intersections;& si ces deux lignes ne le ren

me.

contrent point , leProblême sera impossible.

On pourroit aussi se servir de l'équation à l'Hyperbolexy=aa, au lieu de l'équation à la parabole ay=xx, , pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troisiéme & du quatriéme degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxy= a) , au lieu de l'équation à la parabole cubique aay=x, pour construire les Problèmes déterminez dont les équations excedent le quatriéme degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons proposée,soront toujours construits avec les courbes les plus simples qu'ils le puissent être.

16. Pour décrire les courbes du premier genre , on
a réduit leurs équations à un certain état : on n'a'
point fait la même chose pour décrire celles des genres
plus composez , parcequ'il y en a une trop grande quan-
tité dans chaque genre.

Il
peut

de
ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équa.
tions en deviendront plus simples; & par consequent aussi
leur construction. Or ces changemens se font de la mê.
me maniere que ceux qui se font par les réductions,com-
me on a vû dans toute l'étendue de la Section huitiéme ,
en égalant une de leurs inconnues + ou — une quantité
connue à une nouvelle inconnue , & substituant dans l'é-
quation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire
évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme
sera dffierente de la premiere. On peut faire la même
chose sur l'autre inconnue.

On peut encore non-seulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut ausli changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait çn plusieurs endroits de la même Şection huitième,

changeant l'origine","cou people neanmoins arriver qu'en

OU

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