En prenant y pour conftante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, l'on fera aaz = x; donc a+zz=x6, & substituant dans l'équation proposée en la place de x6, & de x3 leurs valeurs azz, & aaz, l'on aura celle qui fuit.

azz+azyx-aabzyy+bcy'x + y = 0, qui est une équation ou l'inconnue x, n'a qu'une dimension; & que l'on construira par consequent par les regles de la Section seconde, & les Interfections avec la parabole cubique, que l'on décrira aussi par les mêmes regles puisque l'inconnue z, n'a aussi qu'une dimension, donneront les valeurs de x correspondantes à celles que l'on aura affignées à y. Il en est ainsi des autres équations plus compofées.

Mais au reste de quelque genre que puisse être une courbe, il est rare que l'on ne puisse pas trouver une maniere de la décrire, plus simple que celle qu'on tire de fon équation, en suivant les regles prefcrites n° 2 & 3, ou

autrement.

COROLLAIRE.

13. I L est clair qu'on peut construire les équations déterminées où l'inconnue est élevée au-dessus du quatriéme degré comme on vient de dire, en formant une équation à la parabole cubique avec une nouvelle inconnue, & celle de l'équation: car aprés les substitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l'équation proposée n'excedera pas le second degré ; & la courbe dont cette équation exprime la nature, & la parabole cubique étant décrites, leurs interfections determineront les valeurs ou racines de l'inconnue de l'équation propofée. Il est pourtant certain qu'un Problême de cette nature sera toujours construit plus élegamment, lorsqu'ayant employé deux inconnues pour le réfoudre, on le construira avec les deux premieres équations dans lesquelles on sera tombé a la maniere de ceux de la Section neuvieme, comme on va voir par l'exemple qui suit.

C

:

EXEMPLE

De la construction des Problèmes dont les équations déterminées

excedent le quatrième degré.

Problême.

14. UN angle droit ABH, & un point fixe A fur un de

fes côtez, étant donnez; il faut trouver au-dedans un point M, d'où ayant abbaisse fur AB la perpendiculaire MP, le rectangle AP × PM, foit égal à AB2; & qu'aynt mené du point A par le méme point M la droite AMC qui rencontre BH en C, AM foit égale à BC.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la don. née AB, a; & les inconnues AP, x; PM, y; AM fera √xx+yy; & l'on aura par la premiere condition du Problême xy = aa, qui est une équation à l'Hyperbole par rapport à ses asymptotes.

A cause des triangles semblables APM, ABC, l'on a, AP(x). PM (y)::AB(a). BC=2 = (Hyp.) √xx+yy=AM, ou en quarant les deux membres, & multipliant par xx, aayy=x++xxyy, qui est une équation à une courbe du troisiéme genre, d'où faisant evanouir y par le moyen de l'équation à l'Hyperbole xy= aa, l'on aura a=x+a*xx, qui est une équation déterminée du sixiéme degré.

Pour la construire par le moyen de l'équation déterminée ao = x2 + a*xx, soit fait aaz = x2, qui est une équation à la premiere parabole cubique; & mettant dans l'équation a=x+a+xx, en la place de x1 sa valeur aaz, elle deviendra aa = 2x + xx, qui est une équation au cercle.

FIG.103.

Soit presentement F l'origine des inconnues des deux FIG. 104. équations au cercle, & à la parabole cubique z; qui va vers G, & x qui lui est perpendiculaire, & va en haut. Si du point F pour centre & pour rayon AB = a, l'on dé

F f iij

crit un cercle; & fur la même FG pour axe, dont le fommet eft F, & le parametre a, la parabole cubique KFN; elle coupera le cercle en deux points K & N, & la perpendiculaire NQ fera la valeur positive de x, & KL la valeur negative qui sera égale à la positive, de FIG. 103. forte qu'ayant fait AP=NQ, le point P sera un des 104. points cherchez.

DEMONSTRATION.

PAR la proprieté de la parabole cubique (art. 9 no 18) FQxaa=QN3, ou en termes algebriques aaz = x2, qui montre que cette parabole, n'est pas semblable à la parabole ordinaire, & que ses deux parties vont l'une d'un côté, & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un sens

3

- contraire: car l'on tire de son équation x = Vaaz, qui fait voir que x, n'a qu'une feule valeur qui est positive: mais si l'on fait z negative, l'on aura x=-aaz, où x n'a qu'une feule valeur qui est negative. Maintenant par la proprieté du cercle, l'on a FI - FQ2=QN2, ou en termes algebriques aa - =xx, ou où a'x'= atxx, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

aa

Mais pour résoudre entierement le Problême, il faur encore déterminer la grandeur de PM=y; c'est pourquoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xy = aa, qui est la plus fimple des deux premieres qu'on a trouvées, l'on en tirera y= qui est une équation déterminée du premier degré à cause de x dont la valeur vient d'être trouvée ; c'est pourquoi si l'on prend PMtroisieme proportionnelle à AP & à AB, le point M sera celui que l'on cherche.

On pourra aussi construire cette équation a=x+a+xx par le moyen du cercle & de la parabole ordinaire: car ayant fait af= xx, l'equation déterminée deviendra a3 =f+aas, en mettant pour xx sa valeur af, qui est une équation du troisième degré, que l'on construira par les regles de la Section neuvième ; & aprés avoir trouvé par ce moyen la valeur de s, l'on aura celle de x = AP qui est une moyenne proportionnelle entre a & /: cela fait, il faudra encore déterminer la grandeur de PM=y comme on vient de faire.

Pour construire presentement le Problème avec les deux premieres équations xy = aa, & aayy = x++ xxyy; l'origine des inconnues x & y, dans l'une & dans l'autre, étant au point A, x allant vers B, & y parallele FIG. 105. à BH; ayant fait BH = AB = a, & mené AS parallele à BH, l'on décrira par A entre les asymptotes AB, AS l'Hyperbole HM.

L'énoncé du Problême donne une description tres simple de la courbe AM dont l'équation aayy = x++ xxyy exprime la nature, & cette courbe coupera l'Hyperbole HM au point cherché M. La Démonstration en eft claire, & l'on voit que cette construction résout pleinenement, naturellement, & tres-élegamment le Problê

me.

On pourroit regarder ce Problême, comme un Prome solide, puisqu'on la construit avec le cercle, & la parabole ordinaire: mais on a jugé à propos de le faire servir d'exemple pour la construction des Problêmes dont les équations excedent le quatriéme degré.

Si on examine la nature de la courbe AM par le moyen de son équation, l'on en tirera une description assez simple, & l'on trouvera qu'elle touche son axe AB au point A, & qu'elle a pour asymptote la droite BH, &c.

REMARQUES GENERALES.

Sur la construction des Problèmes déterminez & indéterminez. 15. LE S Problêmes déterminez tels qu'ils puissent être, ont toujours autant de solutions que les deux lignes, droi tes ou courbes, qui servent à les résoudre, ont de points communs ou d'intersections; & si ces deux lignes ne se ren

contrent point, leProblême sera impossible.

On pourroit aussi se servir de l'équation à l'Hyperbole xy = aa, au lieu de l'équation à la parabole ay = xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troisiéme & du quatrième degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxy = a3, au lieu de l'équation à la parabole cubique aay = x', pour construire les Problêmes déterminez dont les équations excedent le quatriéme degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons proposée, feront toujours construits avec les courbes les plus simples qu'ils le puissent être.

16. Pour décrire les courbes du premier genre, on a réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chose pour décrire celles des genres plus composez, parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la position de leurs axes, ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus simples; & par consequent auffi leur construction. Or ces changemens se font de la même maniere que ceux qui se font par les réductions,comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitième, en égalant une de leurs inconnues + ou - une quantité connue à une nouvelle inconnue, & substituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme sera dffierente de la premiere. On peut faire la même chose sur l'autre inconnue.

On peut encore non-seulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut auffi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plusieurs endroits de la même Section huitième,

SECTION