SECTION XII. Des Courbes méchaniques , ou transcenden

, tes, de leur description, eo des Problèmes

qu'on peut construire par leur moyen. XXVI. OUTES les Courbes geometriques ren

T:

trent en elles-mêmes, ou s'étendent à l'infini ; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettresindéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui est la même chose, qui ex. priment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles, ont un nombre determiné de dimensions , & qu'on peut par consequent trouver tous les points de ces Courbes geometriquement, c'est-à-dire, par l'intersection de deux lignes geometriques droites , ou courbes.

Toutes les Çourbes méchaniquęs rentrent aussi en elles-mêmes, ou's'étendent à l'infini; mais on ne peut poing trouver d'équations qui expriment geometriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes mechaniques dont une des coordonnées est une ligne droite , & l'autre une ligne courbe dont la rectification estgeometriquement impossible. Il y en a d'autres dont les coordonnées sont deux lignes courbes; d'autres dont les' appliquées partent toutes d'un même point, & d'au. tres qui sont figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en unę infinité de points ; d'où il suit qu'afin qu'une équation en pûç exprimer la nature ; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eût une infinité de dimensions, ce qui est impossible ; & c'est pour cela que ces Courbes sont aussi nommées transcendentes.

Il suit de tout ceci que l'on ne peut geometriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puis.

Gg

a

que leurs équations n'en expriment que méchanique-
mene la nature.
Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne con-

y
noît que certaines proprierez, d'où l'on ne peut tirer
d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à
l'infini , en regardant les Courbes comme des Polygo-
nes d'une infinité de côteż, & en comparant les côtez
d'un triangle infiniment petir, formé par une perire por-
tion de la Courbe comprise entre deux appliquées infini-
ment proches, par la difference de ces deux appliquées,
& par la distance de l'une à l'autre , & que l'on regarde
comme un triangle rectiligne , aux côtez d'un grand
triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire,
par l'appliquée , & par la loûtangente, ou par la soûper-
pendiculaire, & les équations que l'on tire de la compa-
faison des côtez de ces deux triangles, sont nommées
équations differentielles; parceque les cotez du petit trian-
gle sont les differences de la Courbe , des deux appli.
quées infiniment proches , & des deux abscilles qui cor-
respondent à ces deux appliquées.

On n'entreprend point ici de donner une Theorie
completé des Courbes méchaniques ; mais plûtôt une
simple explication de celles qui se rencontrent le plus
ordinairement dans les Ouvrages des Geometres, & par-
ciculierement dans l'excellent Livre de l'Analise des In-
finiment Petits de feu Monsieur le Marquis de l'Hôpital,
où il suppose que son Lecteur connoisse toutes les Cour-
bes dont il explique les plus belles proprierez.

PROPOSITION I.
Fig. 105. 1. Soit un cercle ABP, dont le centre est c, & un

rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon CA falfe un tour
entier autour de son extremité immobile C, de maniere
que le point A se meuve uniformement fur la circonfe-
rence de A par B en À , pendant qu'un point mobile

A
parcourera aussi d'un mouvement uniforme, le rayon CA
állant de cen A; ce point décrira par la composition de

C.

ces deux mouvemens, une Courbe CDMA, qui aura cette proprieté dans toutes les situations de ÁC, par exemple en celle de CP, que la circonference entiere ABĀ sera à la partie ABP:comme CA ou CP à CM, ou (ayant nommé CA, a; ABA , fi ABP , *; CM. ;) 6.*::a.», d'où l'on tire ax=cy.

Si l'on fuppofe que le rayon CĄ falle encore un , ou plusieurs cours, le point décrivant parcourera pendant chaque tour , furç A prolongée, des parties comme AE égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même, que CA en aura fait ; & comme on peut supposer que le rayon ÇÀ fasse une infinité de tours; il fuit que la Courbe peut le rencontrer en une infinite de points ; & que par consequent elle est méchanique, ou transcendente. Archimede Auteur de cette Courbe la nommée Spirale.

Pour la décrire , ayant divisé la circonference ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales , & mené CP à quelqu'une des diviliops, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient , ou de P en M, autant de parties de CA que AFP en contient ; & de l'une ou de l'autre maniere le point M sera à la Courbe CDM: car l'on aura toujours ABA, ABP :: CA. CM,OU ABA. AFP :: CA.PM.

Ondécrira de même le ze tour, en portant sur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainsi des autres, en décrivant pour chaque cour un cercle dont le rayon soit double, triple, &c du.

Śi l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant, se meuvent avec des vitesses qui soient en telle raison qu'on voudra , c'est-à-dire , que ces vitesses soient telles que l'on ait toujours ABÁ. ABPm ::CA".CP", ou ctn, xm:: 2".gm, d'où l'on tirera a" xm=cmy", qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

Ce seroit la même chose si le rayon AC tournoit autour du point c d'un sens contraire, de A par F vers P,

rayon CA.

=

FIG. 106, 2. Sortu

pendant que le point mobile descendroit de A vers C, en Tupposant les vitesses telles qu'on les vient de supposer: car nommant AFP, x;& PM,y; l'on auroit encore cm. the ::a".gn, ou a" xm=

=cmy", qui est l'équation precedente, Sim & n signifient des nombres positifs, les spirales sesont nommées paraboliques; & si l'une des deux signifie un nombre négatif, elles seront nommées hyperboliques ; parceque fic &x exprimoient des lignes droites aussi bien que a&y, ces équations appartiendroient à la parabole dans le premier cas, à l'hyperbole dans le second. Par exemple, si m'=I,&n=2,

l'on aura aax = cyy.

Si m SI,&n=MI, l'on aura xy = ac. Sim=2,&n= -1, l'on aura xxy=acc , &c. L'on décrira ces courbes comme si elles étoient geometriques, en supposant la quadrature du cercle.

PROPOSITION I 1. ont un quart du cercle ADB, donc le centre est C,& les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA se meuve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre aussi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB ; l'intersedion M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM, décrira une courbe AME , qui fera telle que ADB. AD:: AC. AP. Diocles , son Auteur, l'a nommée Quadratice.

3. Si le rayon AC au lieu de se mouvoir autour da centre C, se mouvoit parallele à lui-même, de force qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours ADB . AD :: AC. AP ; l'intersection M de la paralleleDF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monsieur T chirnhausen a aussi nommée Quadratrice.

Si l'on nomme AC,a; ADB, C; AD , X; AP, y; l'on aura c.x:: . y;donc ax = cy, pour l'équation commune à ces deux courbes.

O I

FIG, 1073

FIG. 106.

107.

.

PROPOSITION III.

. 4. SOIENT deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, Fig. 108. qui se touchent en A, dont les centres loient C &H, & les rayons CA, ou CB &HA:soit de plus un point fixe D, pris sur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on suppose presentement que le cercle AFB roule sur le cercle ALI, jusqu'à ce que le point B soit parvenu en T, le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloide, ou demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe, supposons que le demi cercle mobile AFB, soit parvenu en roulant dans la situation KLP dont le centre soit 0, le point D sera alors en M, qui est un des points de la courbe , & le point B sera en P. Ayant décrit du centre par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG, qui rencontrera la demi circonference DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en I le cercle ALI , HLO qui passera par le point touchant L, & HG qui coupera l'arc ALI en R,

& du centre C du demi cercle mobile AFB, la droiteCG qui coupera AFB en F.

Il est clair que les triangles HCG, HOM sont égaux, & équiangles: car HC HO, HG=HM, & CG=

= OM:c'est pourquoi les angles CHG,OHM seront égaux, & partant l'arc RI= l'arc AL=

l'arc AL= (Hyp. ) l'arc LK (à cause de l'angle HOM=HCG ) l'arc FB.

Nommant donc les données CB, ou CF, ou LO,&c. a; BD, ou MP, ou AE,6; HA, OU HI,&c, c; l'arc DG, * ; l'arc MG,Y; & l'appliquée HM, 2; CD sera , a+b; & les secteurs semblables CDG, CBF, donneront atıb CD (a+b).CB(a) :: DG (X). BF & à cause des secteurs semblables HMG , HIR , l’on a

AX

RI;

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