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SECTION XII. Des Courbes méchaniques , ou transcendentes, de leur description, & des Problemes

qu'on peut construire par leur moyen. XXVI. OUTES les Courbes geometriques ren

Te

trent en elles-mêmes, ou s'étendent à l'infini; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui est la même chose, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles, ont un nombre determine de dimensions , & qu'on peut par consequent trouver tous les points de ces Courbes geometriquement, c'est-à-dire, par l'intersection de deux lignes geometriques droites, ou courbes.

Toutes les Courbes méchaniques rentrent aussi en elles-mêmes, ou's'étendent à l'infini; mais on ne peut poinç trouver d'équations qui expriment geometriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes mechaniques dont une des coordonnées est une ligne droite , & l'autre une ligne courbe dont la rectification estgeometriquement impossible. Il y en a d'autres dont les coordonnées sont deux lignes courbes ; d'autres dont les' appliquées partent toutes d'un même point, & d'au, tres qui sont figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points ; d'où il suit qu'afin qu'une équation en pûç exprimer la nature ; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eût une infinité de dimensions, ce qui est impossible ; & c'est ces Courbes sont aussi nommées transcendentes.

Il suit de tout ceci que l'on ne peut geometriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puis

pour

cela que

Gg

que leurs équations n'en expriment que méchaniquement la nature.

Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprierez, d'où l'on ne peut tirer d’equacions en termes finis

. Il faut alors avoit recours à l'infini , en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côteż, & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petir, formé par une perire portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches, par la difference de ces deux appliquées, ; & par la distance de l'une à l'autre , & que l'on regarde comme un triangle rectiligne , aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire, par l'appliquée , & par la loûtangente, ou par la soûperpendiculaire, & les équations que l'on tire de la

compafaison des côtez de ces deux triangles, sont nommées équations differentielles; parceque les cotez du petit triangle sont les differences de la Courbe , des deux appli. quées infiniment prochês , & des deux abscisses qui correspondent à ces deux appliquées.

On n'entreprend point ici de donner une Theorie complete des Courbes méchaniques; mais plûtôt une simple explication de celles qui se rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres, & par. ciculierement dans l'excellent Livre de l'Analise des Infiniment Petits de feu Monsieur le Marquis de l'Hôpital , où il suppose que son Lecteur connoisse toutes les Courbes dont il explique les plus belles proprierez.

PROPOSITION I FIG. 105. I. S 911 un cercle ABP, dont le centre elt C, & un

rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon CA false un tour entier autour de son extremité immobile C, de maniere que le point A se meuve uniformement fur la circonference de A par B en A, pendant qu'un point mobile parcourera aussi d'un mouvement uniforme, le rayon CA allant de cen A; ce point décrira par la composition de

ز

que

oes deux mouvemens, une Courbe CDMA, qui aura cette proprieté dans toutes les situations de Á¢, par exemple en celle de CP, que la circonference entiere ABÀ sera à la partie ABP:comme CA ou CP à CM, ou (ayant nommé CA, a; ABA , fi ABP , *; CM,V;) 6.*:a.y, d'où l'on tire ax=cy.

Si l'on fuppose que le rayon ÇA falle encore un , ou plusieurs cours, le point décrivant parcourera pendant chaque cour , furç A prolongée, des parties comme AE égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même , que CA en aura fait ; & comme on peut supposer que le rayon CA fasse une infinité de tours; il fuit la Courbe peut le rencontrer en une infinite de points ; & que par consequent elle est méchanique, ou transcendente. Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale.

Pour la décrire , ayant divisé la circonference ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de papcięs égales , & mené CP à quelqu'une des divisions, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient , ou de P en M, autant de parties de CA que AFP en contient ; & de l'une ou de l'autre maniere le point M sera à la Courbe CDM: car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA.CM,OUABA. AFP :: CA.PM.

Ondécrira de même le ze cour, en portant sur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainli des autres, en décrivant pour chaque cour un cercle dont le rayon soit double, triple, &c. du.

Si l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant, se meuvent avec des vitesses qui soient en telle raison qu'on voudra , c'est-à-dire , que ces vitesses soient telles que l'on ait toujours AB Am. ABP ::CA".CP“, ou cin, xm ::a".ym, d'où l'on tirera a"x" =comy"qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

Ce feroit la même chose si le rayon AC tournoit autour du point c d'un sens contraire, de A par F vers P,

rayon CA.

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pendant que le point mobile descendroit de A vers C, en Tupposant les vitesses telles qu'on les vient de supposer: car nommant AFP; x;& PM,y; l'on auroit encore cm. xona ::a".g" , ou ao xm=cmy", qui est l'équation precedente.

Sim & n signifient des nombres positifs, les spirales seront nommées paraboliques; & si l'une des deux signifie un nombre négatif, elles seront nommées hyperboliques ; parceque sic & x'exprimoient des lignes droites aussi bien que a&y, ces équations appartiendroient à la parabole dans le premier cas, à l'hyperbole dans le second. Par exemple, si m=1, &n=2, l'on aura aax = cyy. Sim =I,&n=»l,l'on aura xy = ac. Sim=2,&n=

l'on aura xxy=acc , &c. L'on décrira ces Courbes comme si elles étoient geometriques, en supposant la quadrature du cercle.

PROPOSITION I 1. FIG. 106, 2. 106. Sortur

oit un quart du cercle ADB , dont le centre est C,& les rayons CA& CB. Si l'on conçoit que le rayon CA se meuve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du poine A, parcourre aussi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB ; l'intersection M du rayon CA qui deviene CD, & de la perpendiculaire PM, décrira une courbe AME , qui fera telle que ADB. AD :: AC. AP, Diocles, son Auteur , l'a nommée Quadratice.

3. Si le rayon AC au lieu de fe mouvoir autour du centre C., se mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours ADB . AD :: AC. AP ; l'intersection M de la paralleleDF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monsieur T chirnhausen a aussi

nonimée Quadratrice. FIG, 106. Si l'on nomme AC,a; ADB, C; AD , *; AP, y; l'on

aura c.x::a. y;donc ax =cy, pour l'équation commune à ces deux courbes.

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107.

PROPOSITION II I. 4. Soient deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, F16. 108. qui se touchent en A, dont les centres loient C &H, & les rayons CA, ou CB &HA:soit de plus un point fixe D, pris sur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on suppose presentement que le cercle AFB roule sur le cercle Ali, jusqu'à ce que le point B soit parvenu en T, le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloide, ou demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe, supposons que le demi cercle mobile AFB, soit parvenu en roulant dans la situation KLP dont le centre soit 0, le point D sera alors en M, qui est un des points de la courbe , & le point B sera en P. Ayant décrit du centre par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG, qui rencontrera la demi circonference DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en 1 le cercle ALI, HLO qui passera par le point touchant L, & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droiteCG qui coupera AFB en F. Il est clair

que

les triangles HCG, HOM sont égaux, & équiangles: car HC= HO, HG= HM, &CG= OM: c'est pourquoi les angles CHG0HM seront égaux, & partant l'arc RI= l'arc AL= (Hyp. ) l'arc LK= ( à cause de l'angle HOM=HCG ) l'arc FB.

Nommant donc les données CB, ou CF, ou LO, &c. a; BD, ou MP, ou AE,b; HA, OU HI,&,c; l'arc DG, * ; l'arc MG, Y; & l'appliquée HM, 2; CD sera, a+b; & les secteurs semblables CDG, CBF, donneront CD (a + b).CB(a):: DG (*). BF= =RI; & à cause des secteurs semblables HMG , HIR , l'on a

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