Des Courbes méchaniques, ou transcendentes, de leur description, & des Problêmes qu'on peut construire par leur moyen. XXVI. T OUTES les Courbes geometriques rentrent en elles-mêmes, ou ou s'étendent à l'infini; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettresindéterminées des équations qui en expriment la nature, ou, ce qui est la même chose, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles, ont un nombre déterminé de dimensions, & qu'on peut par consequent trouver tous les points de ces Courbes geometriquement, c'est-à-dire, par l'interfection de deux lignes geometriques droites, ou courbes. Toutes les Courbes méchaniques rentrent aussi en elles-mêmes, ou's'étendent à l'infini; mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geometriquement la relation de leurs coordonnées: car il y a des Courbes mechaniques dont une des coordonnées est une ligne droite, & l'autre une ligne courbe dont la rectification est geometriquement impossible. Il y en a d'autres dont les coordonnées sont deux lignes courbes; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'au. tres qui font figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points; d'où il suit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eût une infinité de dimensions, ce qui est impossible; & c'est pour cela que ces Courbes font aussi nommées transcendentes. Il suit de tout ceci que l'on ne peut geometriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puis. Gg que leurs équations n'en expriment que méchaniquement la nature. Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprietez, d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini, en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côtez, & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit, formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infini ment proches, par la difference de ces deux appliquées, & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne, aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente, ou la perpendiculaire, par l'appliquée, & par la foûtangente, ou parla soûperpendiculaire, & les équations que l'on tire de la comparaison des côtez de ces deux triangles, font nommées équations differentielles; parceque les cotez du petit triangle font les differences de la Courbe, des deux appli quées infiniment proches, & des deux abscisles qui correfpondent à ces deux appliquées. On n'entreprend point ici de donner une Theorie complete des Courbes méchaniques; mais plûtôt une fimple explication de celles qui se rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres, & particulierement dans l'excellent Livre de l'Analise des Infiniment Petits de feu Monfieur le Marquis de l'Hôpital, où il suppose que son Lecteur connoisse toutes les Courbes dont il explique les plus belles proprietez. FIG. 105. 1. PROPOSITION I SOIT OIT un cercle ABP, dont le centre eft C, & un rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon CA fasse un tour entier autour de son extremité immobile C, de maniere que le point A se meuve uniformement fur la circonference de A par Ben A, pendant qu'un point mobile parcourera aussi d'un mouvement uniforme, le rayon CA allant de Cen A; ce point décrira par la composition de ces deux mouvemens, une Courbe CDMA, qui aura cette proprieté dans toutes les situations de AC, par exemple en celle de CP, que la circonference entiere ABA sera à sa partie ABP: comme CA ou CP à CM, qu (ayant nommé CA, a¡ ABA, ABP; CM, γ;) c. xay, d'où l'on tire ax= су. : Si l'on suppose que le rayon CA fasse encore un, ou plusieurs tours, le point décrivant parcourera pendant chaque tour, furCA prolongée, des parties comme AF égales à CA, & la courbe fera autant de tours autour d'elle-même, que CA en aura fait ; & comme on peut supposer que le rayon CA fafle une infinité de tours; il fuit que la Courbe peut le rencontrer en une infinité de points; & que par consequent elle est mechanique, ou transcendente. Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale. Pour la décrire, ayant diviséla circonference ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales, & mené CP à quelqu'une des divisions, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient, ou de Pen M, autant de parties de CA que AFP en contient; & de l'une ou de l'autre maniere le point M sera à la Courbe CDM: car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA. CM, OUABA. AFP :: CA. PM. Ondécrira de même le 2e tour, en portant fur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainsi des autres, en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon soit double, triple, &c. du rayon CA. Si l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant, se meuvent avec des vitesses qui soient en telle raifon qu'on voudra, c'est-à-dire, que ces vitesses soient telles que l'on ait toujours ABAm. ABPTM :: CA. CPn, ou cih, xm :: a. ym, d'où l'on tirera a^x = cm y, qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini. Ce seroit la même chose si le rayon AC tournoit autour du point C d'un sens contraire, de Apar F vers P, : pendant que le point mobile descendroit de A vers C, en PROPOSITION II. n= FIG. 106. 2. So I T un quart du cercle ADB, dont le centre est C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA se meuve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB, & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA, partant du point A, parcourre auffi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB; l'interfection M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM, décrira une courbe AME, qui fera telle que ADB . AD :: AC. AP. Diocles, fon Auteur, l'a nommée Quadratice. FIG. 107. 3. Si le rayon AC au lieu de se mouvoir autour da centre C, se mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours ADB . AD :: AC. AP; l'intersection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que MonfieurTchirnhausen a auffi nommée Quadratrice. FIG. 106, Si l'on nomme AC, a; ADB, c; AD, x; AP, y; l'on 107. aura c. x :: a. y;donc ax = cy, pour l'équation commune à ces deux courbes. PROPOSITION III. 4.SOIENT deux cercles AFB, ALIégaux ou inégaux, FIG. 108. qui se touchent en A, dont les centres foient C &H, & les rayons CA, ou CB & HA: foit de plus un point fixe D, pris sur le rayon CB prolongé, ou non prolongé. Si l'on suppose presentement que le cercle AFB roule fur le cercle ALI, jusqu'à ce que le point B soit parvenu en T, le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloïde, ou demi Roulette. Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe, supposons que le demi cercle mobile AFB, soit parvenu en roulant dans la situation KLP dont le centre soit O, le point D sera alors en M, qui est un des points de la courbe, & le point B sera en P. Ayant décrit du centre C par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG, qui rencontrera la demi circonference DGE enG, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en I le cercle ALI, HLO qui passera par le point touchant Z, & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droiteCG qui coupera AFB en F. Il est clair que les triangles HCG, HOM sont égaux, & équiangles: car HC=H0, HG= HM, & CG= OM: c'est pourquoi les angles CHG,OHM seront égaux, & partant l'arc RI=l'arc AL = (Hyp.) l'arc LK= ( à cause de l'angle HOM=HCG) l'arc FB. Nommant donc les données CB, ou CF, ou LO, &c. a; BD, ou MP, ou AE, 6; HA, ou HI, &c, c; l'arc DG, x; l'arc MG, y; & l'appliquée HM, z; CD sera, a+b; & les secteurs semblables CDG, CBF, donneront CD(a+b).CB ( a ) :; DG ( x) • BF= ax n+b = RI; & à cause des secteurs semblables HMG, HIR, l'on a |