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AX

z(HM).c(HI) :: y(HG). (IR), d'où l'on

axx

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tire cy= ou acy +bey=axz

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COROLLAIRE I

5. IL eft clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point 7, l'arc ALT fera égal à la demi circonference AFB, & le point décrivant D ou M fera fur le rayon HT en S, de forte que STBD.

I

COROLLAIRE II.

6. Si le point décrivant D étoit entre C& B, le cercle DGE feroit interieur au cercle AFB, & lorfque le point B, ou P feroit parvenu en 7, le point décrivant D, ou M, ou, ce qui eft la même chofe, le point S de la Courbe feroit fur le rayon HT prolongé au-delà de 7 de la longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy bey axz: car BDb deviendroit négative de fitive qu'on l'a fuppofée,

I

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COROLLAIRE III,

po

7. Si le point Détoit en B, ou ce qui eft la même chofe, fi B devenoit le point décrivant, le cercle DGE fe confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Courbe tomberoit en 7, ou le point B toucheroit le cercle ALI ; & en ce cas DBb devenant nulle, ou 0, l'équation deviendroit cy=xz

COROLLAIRE IV.

8. Si l'on fuppofe que le point H s'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire fur AB au point A; l'arc GM, une autre droite parallele à ALI; & les rayons AH & MH, deviendront infinis, & par confequent paralleles & égaux ; c'eft pourquoi c fera égale à z, & l'équation précedente (n°. 4) fe changera en celle-ci ay + by=ax,

en la divifant par les quantitez égales c &z, & faifant de nouveau les mêmes raifonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du fecond deviendra ay — by=ax ; celle du troisième deviendra y = x.

La Courbe DMS, eft en ce cas nommée, demi Cycloïde ou demi Roulette à Bafe droite.

COROLLAIRE V.

9. Si le cercle AFB au lieu de rouler, glissoit fur la li gne AL droite, ou circulaire, en forte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT AFB, pendant que le point décrivant D par. coureroit auffi d'un mouvement uniforme la demi circonference DGE>,<,ou=AFB, & en lui demeurant concentrique. Il eft clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, feroit la même que file cercle AF rouloit fur la ligne ALT.

10.

COROLLAIRE VI.

MAIS fi le point décrivant D employe plus de temps à parcourir uniformement la demi circonference DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir auffi uniformement ALT AFB, la demi roulette fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE, que le point n'en employe à parcourir ALT=AFB; la demi roulette fera nommée Accourrcie. COROLLAIRE VII.

I

11. Si le point touchant A, & le point décrivant D se mouvoient avec des viteffes qui fuffent telles que les puiffances m des parties parcourues par le point A fur AL, & les puiffances n des parties parcourues dans des temps egaux par le point D fur la demi circonference DEG >, <,ou=AFB, gardassent entr'elles un raport conftant, l'on pourroit avoir par ces mouvemens non feulement

toutes les roulettes dont on vient de parler : mais encore, une infinité d'autres de differens genres.

REMARQUE.

12. LES Roulettes & bases droites, font toutes méchaniques: car une ligne droite fe pouvant entendre à l'infini, le cercle mobile AFB, pourra faire une infinité de tours, ou gliffer fur cette ligne infinie AL pendant que le point décrivant D,parcourera une infinité de fois la circonference du cercle confentrique DGE: mais la roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour, ou la ligne AL, ou une autre qui lui fera parallele; c'eft pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini, ou fa parallele, rencontrera en une infinité de points la Roulette DMS qui fera par confequent méchanique.

Mais les Roulettes à bafes circulaires, ne font pas de même; car lorsque les diametres du cercle immobile ALT, & du mobile ABF feront entr'eux, comme nombre à nombre, leurs circonferences feront auffi comme nombre à nombre, c'eft pourquoi le point décrivant D, retombera au même point S aprés une ou plufieurs révolutions, & fi le cercle mobile continue de rouler, ou de gliffer aprés ce tour au point S, le point D recommencera à décrire la même Roulette & partant un rayon HM tiré du centre H, la rencontrera en un certain nombre déterminé de points, alors la Roulette fera geometrique, & l'on pourra trouver une équation qui fervira à en déterminer tous les points geometriquement, comme on pourra voir dans un livre que Monfieur Nicole va donner au public fur toutes les efpeces de Roulettes, où il en expliquera tres-fçavament toutes les proprietez.

Mais lorsque les diametres du cercle mobile, & du cercle immobile feront incommensurables, le point décrivant ne retombera jamais dans un même point; & en faisant une infinité de tours autour du cercle immobile, décrira une infinité de Roulettes qui ne feront neanmoins qu'une même Courbe ; & partant un rayon tiré du cen

tre

tre du cercle immobile rencontrera cette Courbe en une infinité de points, & elle fera par consequent méchanique.

PROPOSITION IV.

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13. Il faut décrire la courbe BM dont l'axe eft AP ; une ap- F 1 G. 109. pliquée PM, & dont une des proprietez eft que la foutangente PT eft toujours égale à une ligne donnée KL.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & mené l'appliquée pm infiniment proche de PM; la ligne MmT, menée par les points M, m infiniment proches, sera une tangente: car la courbe BM, étant regardée comme un polygone d'une infinité de côtez, Mm fera un de ces côtez. Or il eft clair que fi la courbe BM eft toujours convexe d'un même côté, le petit côté Mm étant prolongé, ne la coupera point, & le prolongement MT fera par confequent une tangente.

Ayant mené mR parallele à AP, RM sera la difference des deux appliquées infiniment proches PM & pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom qu'àPM, précedé de la lettre d, qui fignfiera difference, & l'on n'employera point dans la fuite la lettre d'à d'autres ufages. Ainfi nommant l'appliquée PM, y; RM fera dy, c'eft-à-dire, difference dey; de forte que la lettre dne fait que caracteri fer y, & n'eft l'expreffion d'aucune quantité : mais parce qu'il n'y a aucun point fixe fur AP,pour pouvoir nommer l'intervale qui fe trouveroit entre ce point fixe, & le point P par une autre inconnue, x; on fe contentera de nommer Pp, ou Rm, dx; on nommera auffi la donnée KL, ou (Hyp.) PT, a: or le petit triangle MRm étant regardé comme rectiligne à caufe de l'infinie periteffe du petit côté Mm, fera femblable au triangle MPT; c'est pourquoi l'on aura dy (MR). dx (Rm) :: y (MP).a (PT), d'où l'on tire ydx=ady, qui est une équation differentielle.

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14. Pour conftruire les courbes qui ont de telles équa-
Hh

FIG. 110.

tions, il faut 1°. Que l'une des differences avec fon inconnue, fi elle s'y rencontre, foit dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, & que les deux differences foient dans le numerateur, fi l'équation est fractionnaire; felon cette regle l'équation précedente devient dx

=

ady

و

2°. Qu'en multipliant ou divifant l'équation, s'il eft neceffaire, par une quantité conftante, chaque membre foit un plan dont chaque difference foit un côté. Ainsi ady deviendra adx=

y

l'équation dx =
pliant chaque membre par a.

aady

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en multi

3o. On égalera chaque membre à une nouvelle inconnue, aprés l'avoir divifé par la difference qu'il renferme, & l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes geometriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainfi de l'équation precedente on tire a =K, qui eft une équation à la ligne droite, & =f, ou aa=yf, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes.

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y

4°. Ayant mené deux lignes DQ, FP qui fe coupent à à angles droits en A; on fuppofera que les quatre inconnues qui fe trouvent dans l'équation differentielle, & dans les deux équations que l'on en a tirées, ont leur origine commune au point d'interfection A, de maniere que les deux inconnues de chaque équation fe trouve fur les deux lignes qui forment un même angle droit, c'està-dire, que fi l'on nomme AP, x; & AQ,y; qui font les deux inconnues de l'équation differentielle précedente, il faudra neceffairement nommer AF, S; & AD, ; afin que les inconnues les inconnues y & de l'équation à l'Hyperbole, forment un même angle droit FAQ, &c. 5.On décrira par les regles desSections 8, ou 11 les deux courbes geometriques, chacune dans l'angle, dont les côtez font exprimez par les inconnues de fon équation.

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