ax

z(HM).c(HI)::y(HG). (IR), d'où l'on

5. IL est clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point T, l'arc ALT sera égal à la demi circonference AFB, & le point décrivant D ou M fera fur le rayon HT en S, de forte que ST =BD.

COROLLAIRE II.

6. Si le point décrivant D étoit entre C& B, le cercle DGE seroit interieur au cercle AFB, & lorsque le point B, ou P feroit parvenu en T, le point décrivant D, ou M, ou, ce qui eft la même chose, le point S de la Courbe seroit fur le rayon HT prolongé au-delà de T de la longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy - bcy=axz: car BD=6 deviendroit négative de pofitive qu'on l'a supposée,

COROLLAIRE III,

7. Si le point Détoit en B, ou ce qui est la même chose, fi B devenoit le point décrivant, le cercle DGE fe confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Courbe tomberoit en 7, ou le point B toucheroit le cercle ALI; & en ce cas DB = b devenant nulle, ou=0, l'équation deviendroit cy=xz.

COROLLAIRE IV.

8. Si l'on suppose que le point H s'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire sur AB au point A; l'arc GM, une autre droite parallele à ALI; & les rayons AH & MH, deviendront infinis, & par confequent paralleles & égaux ; c'est pourquoi e sera égale à z, & l'équation précedente (no. 4) fe changera en celle-ci ay+by=ax,

en la divisant par les quantitez égales c & z, & faisant de nouveau les mêmes raifonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du second deviendra ay - by=ax ; celle du troisième deviendra y = x.

La Courbe DMS, est en ce cas nommée, demi Cycloïde ou demi Roulette à Base droite.

COROLLAIRE V.

9. Si le cercle AFB au lieu de rouler, glissoit sur la ligne AL droite, ou circulaire, en forte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT AFB, pendant que le point décrivant D par. coureroit aussi d'un mouvement uniforme la demi circonference DGE >, <, ou=AFB, & en lui demeurant concentrique. Il est clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, seroit la même que file cercle AF rouloit sur la ligne ALT.

COROLLAIRE VI.

10. MAI s si le point décrivant D employe plus de temps à parcourir uniformement la demi circonference DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir aussi uniformement ALT=AFB, la demi roulette sera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de tempsa parcourir DGE, que le point A n'en employe à parcourir ALT=AFB; la demi roulette sera nommée Accourrcie. COROLLAIRE VII.

11. Si le point touchant A, & le point décrivant D se mouvoient avec des vitesses qui fussent telles que les puifsances m des parties parcourues par le point A fur AL, & les puissances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D sur la demi circonference DEG >, <, ou = AFB, gardassent entr'ellesun raport constant, l'on pourroit avoir par ces mouvemens non seulement toutes les roulettes dont on vient de parler: mais encore, une infinité d'autres de differens genres,

REMARQUE.

12. LES Roulettes & bases droites, font toutes mechaniques : car une ligne droite se pouvant entendre à l'infini, le cercle mobile AFB, pourra faire une infinite de tours, ou glisser sur cette ligne infinie AL pendant que le point décrivant D, parcourera une infinité de fois la circonference du cercle consentriqueDGE : mais la roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour, ou la ligne AL, ou une autre qui lui fera parallele; c'est pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini, ou sa parallele, rencontrera en une infinité de points la Roulette DMS qui sera par consequent méchanique.

Mais les Roulettes à bases circulaires, ne sont pas de même; car lorsque les diametres du cercle immobile ALT, & du mobile ABF feront entr'eux, comme nombre à nombre, leurs circonferences seront aussi comme nombre à nombre; c'est pourquoi le point décrivant D, retombera au même point S aprés une ou plusieurs révolutions, & fi le cercle mobile continue de rouler, ou de glisser aprés ce tour au point S, le point D recommencera à décrire la même Roulette & partant un rayon HM tiré du centre H, la rencontrera en un certain nombre déterminé de points; alors la Roulette sera geometrique, & l'on pourra trouver une équation qui servira à en déterminer tous les points geometriquement, comme on pourra voir dans un livre que Monfieur Nicole va donner au public sur toutes les especes de Roulettes, où il en expliquera tres-scavament toutes les proprietez.

Mais lorsque les diametres du cercle mobile, & du cercle immobile feront incommensurables, le point décrivant ne retombera jamais dans un même point; & en faisant une infinité de tours autour du cercle immobile, décrira une infinité de Roulettes qui ne seront neanmoins qu'une même Courbe; & partant un rayon tiré du cen

tre du cercle immobile rencontrera cette Courbe en une infinité de points, & elle fera par consequent mechani

que.

PROPOSITION IV.

PROBLEME.

13. IL faut décrire la courbe BM dont l'axe est AP ; une ap- F1 G. 109. pliquée PM, & dont une des proprietez est que la foûtangente PT eft toujours égale à une ligne donnée KL.

Ayant supposé le Problême résolu, & mené l'appliquée pm infiniment proche de PM; la ligne MmT, menée par les points M, m infiniment proches, sera une tangente: car la courbe BM, étant regardée comme un polygone d'une infinité de côtez, Mm sera un de ces côtez. Or il est clair que fi la courbe BM est toujours convexe d'un même côté, le petit côté Mmétant prolongé, ne la coupera point, & le prolongement MT fera par confequent une tangente.

Ayant mené mr parallele à AP, RM sera la difference des deux appliquées infiniment proches PM & pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom qu'à PM, précedé de la lettre d, qui signfiera difference, & l'on n'employera point dans la suite la lettre d à d'autres usages. Ainsi nommant l'appliquée PM, y; RM sera dy, c'est-à-dire, difference dey; de forte que la lettre dne fait que caracteri. sery, & n'est l'expression d'aucune quantité : mais parce qu'il n'y a aucun point fixe sur AP, pour pouvoir nommer l'intervale qui se trouveroit entre ce point fixe, & le point P par une autre inconnue, x; on se contentera de nommer Pp, ou Rm, dx; on nommera aussi la donnée KL, ou (Hyp.) PT, a: or le petit triangle MRm étant regardé comme rectiligne à cause de l'infinie petitesse du petit côté Mm, sera semblable au triangle MPT; c'est pourquoi l'on aura dy (MR).dx (Rm)::y (MP).a (PT), d'où l'on tire ydx = ady, qui est une équation differentielle.

14. Pour conftruire les courbes qui ont de telles équa

Hh

FIG. 110.

tions, il faut 1°. Que l'une des differences avec son inconnue, si elle s'y rencontre, foit dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, & que les deux differences foient dans le nu numerateur, si l'equation est fractionnaire; felon cette regle l'équation précedente devient dx=

ady

.

2°. Qu'en multipliant ou divisant l'équation, s'il est necessaire, par une quantité constante, chaque membre foit un plan dont chaque difference soit un côté. Ainfi l'équation dx = ady deviendra adx = aady en multipliant chaque membre par a.

y

y

3°. On égalera chaque membre à une nouvelle inconnue, aprés l'avoir divisé par la difference qu'il renferme, & l'on aura par ce moyen deux équations à deux courbes geometriques, ou une équation à la ligne droite & l'autre à une courbe. Ainsi de l'équation precedente, on tire a = x, qui est une équation à la ligne droite, &

aa

y

=s, ou aa=ys, qui est une équation à l'Hyperbole par rapport à ses asymptotes.

4°. Ayant mené deux lignes DQ, FP qui se coupent à à angles droits en A; on supposera que les quatre inconnues qui se trouvent dans l'équation differentielle, & dans les deux équations que l'on en a tirées, ont leur origine commune au point d'intersection A, de maniere que les deux inconnues de chaque équation se trouve fur les deux lignes qui forment un même angle droit, c'està-dire, que si l'on nomme AP, x ; & AQ, y; qui font les deux inconnues de l'équation differentielle précedente, il faudra necessairement nommer AF, f; & AD, z; afin que les inconnues y & f de l'équation à l'Hyperbole, forment un même angle droit FAQ, &c. 5o. On décrira par les regles desSections 8, ou 11 les deux courbes geometriques, chacune dans l'angle, dont les côtez font exprimez par les inconnues de son équation.