Ainfi dans cet Exemple, à caufe de l'équation aa=fy l'on décrira une Hyperbole NN dans l'angle FAQ, dont les côtez AQ, AF font nommezy & s, & à cause de l'équation z=a; ayant fait AD=az, l'on menera DS parallele à AP. Avant que de venir à la construction des équations differentielles, l'on remarquera, 1°. Qu'elles n'appartiennent pas toutes à des courbes méchaniques, il y en a qui appartiennent à des courbes geometriques : mais l'art de les diftinguer dépend du calcul inégal que nous ne pouvons pas expliquer ici. 2°. Que les inconnues dont les differences fe trouvent dans une équation différentielle, expriment ou deux lignes droites, ou l'une exprime une ligne droite, & l'autre une ligne courbe, ce qui fait deux cas. La conftruction de l'équation de ce Problême, & celle de l'équation du Problême qui fuit, où toutes ces deux courbes font méchaniques, ferviront d'Exemples pour l'un & pour l'autre cas. 15. Pour construire l'équation adxandy, l'on pren dra fur AQ=y un point quelconque B,& l'on menera par B la droite BC parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en C, & le point B fera l'origine de la courbe qu'il faut décrire ; & ayant pris fur AQ un autre point quelconque Q, l'on menera par la droite Q✩ parallele à AF qui rencontrera l'Hyperbole en N. Cela fait, on prendra fur DS le point V, tel qu'ayant mené VP parallele à AD, l'efpace ADVP foit égal à l'efpace hyperbolique BCNQ; & le point Moù les droites NO,VP,étant prolongées, fe couperont, fera à la courbe cherchée, DEMONSTRATION. AYAN YAN T mené du point m pris fur la courbe BM infi, niment proche de M, les droites mqn, mpu, & du point N, la petite droite NI parallele à AQ; QN étant, f; AQ¿y ; Qq, ou NI sera dy, & partant le petit rectan gle QNIqfdy; mais comme le petit triangle NIn a Q Nnq fdy = addy 4; De même AD, ou PV étant, 4 ; & AP, x ; Pp fera, dx ; & partant le petit rectangle PVupadx. Mais (Couft.) BCNQ=ADVP, & BCnq= ADup; donc aady QNnq=PVup, ou en termes algebriques = adx. C. Q. F. D. L COROLLAIRE I. 16. I1 eft clair que la courbe B Mm a pour asymptote fon axe AP: car l'efpace Hyperbolique B AFGC étant infini, le rectangle ADVP ne lui peut jamais être égal, à moins qu'on ne fuppofe le point P infiniment éloigné de A. COROLL AIRE II. 17. L'EQUATION ydx = ady, où l'Hypotefe donne dy.dx:: y. a, a, d'où l'on voit que fi l'on fuppofe que dx exprime une quantité conftante, le rapport de dx à a fera un rapport conftant; & partant celui de dy à y le FIG.III. fera auffi; c'eft pourquoi fi l'on prend fur l'axe AP tant de parties égales qu'on voudra PC, CD, DE, &c. chacune dx, & qu'on mene par les points P, C, D, E,&c. des perpendiculaires PM, CF, DG, EH, &c. ces perpendiculaires feront continuellement proportionnelles : car ayant mené par les points M, F, G, &c. Les droites MI, FK, GL, &c. l'on aura par l'Hypothese PM (y). IF (dy) :: CF.KG; donc componendo, PM. PM+IF ::CF.CF ➡ KG, c'est-à-dire, PM. CF:: CF. DG. Par la même raifon CF, DG :: DG. EH, &c. De forte que files parties de l'axe PC, PD, PE, &c. ou PN, PO, PQ, &c. prifes fur l'axe AP en commençant d'un point quelconque P, croiffent ou diminuent en proportion arithmeti que, les perpendiculaires correfpondantes CF, DF, EH, &c. ou NR, OS, QV, &c. croîtront, ou diminueront en proportion geometrique; c'eft pourquoi fi l'on prend PC pour l'unité de la progreffion arithmetique PC, PD, PE, &c. & PM pour l'unité de la progreffion geometrique PM, CF, DG, EH, les termes PC ( 1 ), PD ( 2 }, PE(3), &c. de la progreffion arithmetique, feront les logarithmes des termes correfpondans CF, DG, EH, &c. de la progreffion geometrique, qu'on appelle Nombres, &o, le Logarithme de l'unité PM. C'est à cause de cette proprieté que la courbe BM a été nommée Logarithmique. COROLLAIRE III. 18. La perpendiculaire PM étant nomméer, fi l'ori A nomme CF,x; DG fera, x2; EH, x; &c. car à cause de la progreffion geometrique, l'on a PM (1). CF ( x ) :: CF (x) . DG ====x2; CF ( x ) . DG ( x2 ) :: DG I (x2 ). EH = x', &c. Par la même raison NR fera, I I I — ; 05, 11; 2, —; &c. car CF (x). PM(1):: PM OS, x3 (1). NR = 2; PM ( 1 ) . NR (÷) NR(÷) ز x x OS= puifque PC 1, PD = 2, = PE = 3, &c. PN fera — 1, PO—— 2, PQ=— 3, &c. donc en rengeant ces expreffions des perpendiculaires, & celles des parties de l'axe AP, de maniere que l'expreffion de P2 réponde à celle de 2; celle de PO, à celle de OS, &c. l'on aura les deux progreffions fuivantes,qui fe répondront terme à terme, & chaque terme de la progreffion arithmetique, fera le logarithme de celui qui lui répond dans la progreffion geometrique. 19. Doù l'on voit, 1°. Que les expofans des puiffances en font les logarithmes. 3°. Que la fomme de deux logarithmes, eft le logarithme du produit des deux nombres qui leur répondent. Ainfi 5 (32) eft le logar. de x ( = ×3 × ×2 = x3 + 2). 3°. Que la difference de deux logarithmes, eft le logarithme du quotient des deux nombres qui leur répondent. Ainfi 2 (= 5 — 3 ) est le logarithme de x2 (=—-—=x'➖3). 4°. Que le double, le triple, &c. d'un logarithme, est le logarithme du quarré du cube, &c. du nombre correfpondant. Ainfi 4 (= 2+2, eft le logarithme de x*)=x2× x2 = = x2+2. 5°. Que la moitié, le tiers, &c. d'un logarithme, eft le logarithme de la racine quarrée, cube, &c. Ainfi 3 ( égal à la moitié de 6,) est le logarithme de x3 =√x3 을. 3 COROLLAIRE V. 2+2 IL L fuit auffi des deux Corollaires précedens que le logarithme de la racine d'une puiffance multipliée par l'expofant de cette puiffance fera le logarithme de la même puiffance, & qu'on peut par confequent changer une puiffance, ou une autre quantité quelconque en fon logarithme, & au contraire car en fuppofant les mêmes chofes que dans les Corollaires précedens PC=1, étant le logarithme de CF-x; PD = 2 (= 2PC=2 fois le Logarithme de CF-x), fera le Logarithme de DG= x2; PE = 3 ( 3PC = trois fois le Logarithme de PC-x), fera le Logarithme de x3: ce qu'on ex, prime en cette forte: L: DG ( L fignifie Logarithme) 2 LCF, ou L: x2 = 2Lx; L: EH=3LCF, ou Z: x3 3Zx. De même, Z:OS (——2PC)——2LCF, ou Il n'eft pas plus difficile de changer les quantitez logarithmiques en leurs nombres correfpondans: car il n'y a qu'à les élever à la puiffance exprimée par leurs loga rithmes, & multiplier celles qui font jointes par le figne +, & divifer par celles qui ont le figne- -. Ainfi N: 3Lx (N. fignifie Nombre)=x'; N: mLx = xTM ; N: La + Lx-Ly; N: 2Lx+La+x−2La= Il en eft ainfi des autres. axx-x3 Parce que les logarithmes des quantitez égales, font auffi égaux ; il fuit qu'on peut changer les équations ordinaires en équations logarithmiques, & au contraire. Ainfi yyaa-xx, qui eft une équation au cercle, fe changeen celle-ci, 2Ly—La+x+Lax, qui eft une équation logarithmique. De même 2Zy = La+ Lx, qui est une équation logarithmique,fe change en celle-ci yax qui eft une équation à la parabole.Il en eft ainfi des autres. PROPOSITION V. A PROBLEM E. 18. UN cercle APB, dont le centre eft C, étant donné, il faut F 1 6. 112, décrire la courbe AMD qui fait avec tous les rayons CMP, Cmp, un angle égal à un angle donné. Il eft clair que fi l'on fuppofe que le rayon Cp foit infiniment proche de CP, & qué l'on décrive du centre C, par m le petit arc mR, le petit triangle MRm pourra être regardé comme rectiligne; c'eft pourquoi ayant mené du centre C, la droite CT perpendiculaire à CP, & prolongé le petit côté Mm jufqu'à ce que le prolongement rencontre CT en T: la droite MmT, qui fera une tangen |