te au point M, la perpendiculaire CT, qui fera la foûtangente, & la partie CM du rayon CP formeront le triangle rectangle MCT femblable au petit triangle MRm, & qui fera toujours femblable à lui-même, à caufe de l'angle CMm, ou CMT égal à un angle donné. Suppofons donc que le raport conftant de MC à CT foit comme m à n. Ayant nommé la donnée CA, ou CP, a; l'arc indéterminé AP,x; PM,y; Pp sera dx; MR, dy, & CM, a―y. Or à caufe des fecteurs femblables CPP, CRm, CM(a l'on aura CP (a). CM (a—y) :: Pp(dx). MR adx-ydx & à caufe des triangles femblables MRm, MCT,l'on a MR ( dy). RM( .CT= aadx — 2aydx →yydx: mais m. n:: a—y ( MC). ady aadx — zaydx + yydx ( CT); donc n× a a―y=m× adx na Ayant supposé m=z, qui est une équation à la ligne droite, &, —«, qui est une équation à l'Hyperbole, on prolongera CA en F, en forte que AF=m=2, l'on menera par A la droite GH perpendiculaire à CA, & ayant nommé AG, x, & AH, u; l'on conftruira l'Hyperbole HOS entre les afymptotesCA & CB parallele à AH. D'un point quelconque O pris fur l'Hyperbole, ayant mené OI parallele à AH, l'on prendra fur AG le point G, en forte qu'ayant mené GK parallele à AF, le rectangle AGKF foit égal à l'efpace Hyperbolique AIOH, & ayant fait l'arc APAG, & mené le rayon GP, l'on décrira du centre C par I l'arc IM, qui coupera СР CP au point M qui fera à la courbe cherchée. DEMONSTRATION. AYANT mené un rayon Cp infiniment proche de CP,qui coupera la courbe au point midécrit du centreC parm l'arc mL; mené L2 parallele à10, fait Ag=Ap, & mené gk parallele à GK. Par la conftruction, l'efpace AgkF eft égal à l'efpace Hyperbolique ALQH, & AGKF-AIOH; donc GgkK IL20: mais GgkK IL 20=udy= 19. = nady ; donc mdx = a-y zdx nady COROLLAIRE I. 1 • mdx, & C. 2. F. D. L eft clair 1°. Que la courbe AMD ne paffera point au centre C du cercle, puifqu'elle coupe tous les rayons à angles égaux. 2°. Qu'elle fera une infinité de tours autour du même centre: car lorfque AG fera égale à la circonference APBA, le point M de la courbe fera fur le rayon CA: & comme l'efpace Hyperbolique HACBS eft infi ni, avant que de l'avoir épuifé, il faudra prendre fur AG prolongée à l'infini, une infinité de fois APBA; c'est pourquoi la courbe AMD rencontrera une infinité de fois le rayon CA, & fera par confequent une infinité de tours autour du centre C. COROLLAIRE IT. 20. ON tire de l'équation que l'on vient de construire mdx.ndya.a-y, d'où il fuit que fi l'on prend dx pour conftante, ou ce qui revient au même, fi les parties AP croiffent également en devenant Ap, ou, croiffent en proportion arithmetique, les appliquées PM, ou CM, seront (n°. 17.) en proportion geometrique, c'eft pourquoi cette courbe eft nommée Logarithmique Spirale. REMARQUE. 21. Si l'on changeoit l'équation précedente mdx en celle-ci adx= naady ma-my en divifant par m, & en multi avoir conftruit l'Hyperbole felon l'une de ces deux dernieres équations, on conftruiroit la courbe AMD en prenant le secteur ACP égal à la moitié de l'espace hyperbolique HAIO, & le cercle décrit de Cpar I, couperoit CP au point M qui feroit à la courbe AMD; & cette courbe feroit encore une Spirale logarithmique, qui auroit les mêmes proprielez que la precedente: car (Conft.) le secteur ACP=AIOH, & ACp=1× ALQH; donc PCpIL20: mais PCpadx,& IL 20=x - naady ou donc adx= MA- my aady aady x La conftruction de la courbe du Problême précedent ne dépend que de la quadrature de l'Hyperbole : mais celles des courbes de celui-ci dépend de la quadrature de l'Hyperbole, & de celle du cercle tout enfemble. PROPOSITION V I. A PROBLEM E. UN demi cercle ADB, dont le diametre eft AB, & le centre C, étant donné; il faut trouver un point M hors du demi cercle, d'où ayant abaiffe fur AB la perpendiculaire MP qui rencontrera la circonference ADB en D's la partie MD de la perpendiculaire MP foit égale à l'arc BD, & que le rectangle BP × PM foit égal au quarré du demi diametre BC. Ayant fuppofé le Problême résolu, & nommé la donnée AC, ou CB, a ; & les indéterminées BP, x; PM,y; MD, f; l'arc BD, u; AP fera, 2a-x; l'on aura par la premiere condition du Problême, /«, qui eft (no. 8. ) une équation à la roulette à base droite, dont le point décrivant eft fur la circonference du cercle generateur; & par la feconde condition, l'on aura xy=aa, est une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymp totes. qui Pour conftruite l'équation à la roulette fu; ayant fuppofé que le point B de la circonference BDA, foit le point generateur, & mené AT perpendiculaire à AB, on fera rouler le demi cercle BDA fur la droite AT qui le touche en A, & le point B décrira par par fon mouve ment la roulette BMT. Pour construire l'équation à l'Hyperbole xy=aa, on menera le rayon CF parallele à AT, & l'on décrira (art. 14. ) par le point F, l'Hyperbole FM qui coupera la roulette BMT au point cherché M. AYANT DEMONSTRATION. YANT mené par le point M la droite MP perpendiculaire à AB, fa partie MD, comprise entre le point M, & la circonference BDA, fera par la proprieté de la roulette égale à l'arc BD, ce qui eft en termes algebriques=u. Et par la proprieté de l'Hyperbole (art. 14.) le rectangle BP ×PM BC', ce qui eft en termes algebriques xyaa. C. 2 F.D. REMARQUE. PARCE QUE la roulette BMT eft ( n°. 12 ) une courbe méchanique; il fuit que la construction de ce Problê.... me eft auffi méchanique, quoique l'Hyperbole FM foir une courbe geometrique. L'on remarquera auffi que la conftruction des Problêmes méchaniques ne differe point de celle des Problêmes geometriques, lorfqu'on les conftruit par le moyen de deux équations indéterminées. L'on pourroit trouver une équation differentielle pour la roulette, & la décrire par les règles expliquées dans la Propofition quatrième car ayant mené par le point p pris infiniment proche de P, la droite pSm parallele à PDM; par les points D & M les petites droites DR, MI paralleles à AB; MK parallele à DS, ou à la touchante en D du cercle BDA; & le rayon CD. En dys nommant encore BP, x; PM,y; PD, z; & DM, fi BD,u; Pp, ou DR, ou MI fera dx; RS, dz; IM, KM, dfs or puifque l'arc BD DM, & BS = Sm, l'on aura DS Km, ou df = du. = les peA caufe des paralleles DR, MI & DS, MK, tits triangles DRS, MIK feront femblables,& égaux; & (: partant RS=dz= IK; donc dy (= IM IK Km dz + d() = dz + du, en mettant pour dffa valeur du. Mais les triangles rectangles DRS, DPC étant femblables, puifque les angles RDS, PDC font tous deux le complement de l'angle RDC ; l'on aura DP ( z ). PC =dz,&DP (z)• ( a − x ) :: DR ( dx).RS— adx — xdx DC (a) :: DR (dx). DS= adx dus mettant donc dans l'équation précedente dy = dz + du, en la place de dz & du, leurs valeurs adx —xdx adx & l'on aura dy = ༢. Enfin par la proprieté du cercle, l'on a AP× PB=PД, ou en termes algebriques 2ax — xx=2; donc z = xx, & mettant cette valeur de dans l'équation elle fe changera en celle-ci dy. √zax dy= -- zadx. xdx = 2adx xdx qui eft une équation differentielle, où il n'y a que deux indéterminées, & leurs differences. L'on décrira (n°. 14 & 15.) par le moyen de cette équation, la roulette BMT, dont l'interfection M avec l'Hyperbole FM réfoudra le problême propofé. FIN De l'Imprimerie de JACQUE QUILLAU, Imp. Jur. Lib, de l'Un, rue |