te au point M, la perpendiculaire CT, qui sera la soutangente, & la partie CM du rayon CP formeront le triangle rectangle MCT semblable au petit triangle MRm, & qui fera toujours semblable à lui-même, à cause de l'angle CMm, ou CMT égal à un angle donné. Supposons donc que le raport constant de MCà CT soit commem à n. Ayant nommé la donnée CA, ou CP, a; l'arc indéterminé AP, x; PM, y; Pp sera dx; MR, dy, & CM, a - y. Or à cause des secteurs semblables CPP, CRm, l'on aura CP (a). CM(a-y) :: Pp (dx). MR adx - ydx a ; & à cause des triangles semblables MRm, MCT, l'on a MR (dy).RM( adx - ydx a ) :: MC ( a —y ) aadx - raydx + yax (CT); doncnx a-y=mx adx aadx - Laydx lx + yydx ady aax - ydx Oun = mx- , en divisant chaque membre para-y, ou (no. 14.) nady=mdx, qui don-' ne cette construction. a-y Ayant supposé m=z, qui est une équation à la ligne droite, & = u, qui est une équation à l'Hyperbole, na a-y on prolongera CA en F, en forte que AF=m=z, l'on menera par A la droite GH perpendiculaire à CA, & ayant nommé AG, x, & AH, u; l'on construira l'Hyperbole HOS entre les asymptotesCA & CB parallele à AH. D'un point quelconque O pris sur l'Hyperbole, ayant mené Ol parallele à AH, l'on prendra sur AG le point G, en forte qu'ayant mené GK parallele à AF, le rectangle AGKF foit égal à l'espace Hyperbolique AIOH, & ayant fait l'arc AP=AG, & mené le rayon GP, l'on décrira du centre C par I l'arc IM, qui coupera CP CP au point M qui sera à la courbe cherchée. AYANT mene un rayonCp infiniment proche de CP, qui coupera la courbe au point midécrit du centreCparml'arc mL; mené L2 parallele à 10, fait Ag=Ap, & mené gk parallele à GK. Par la construction, l'espace AgkF est égal à l'espace Hyperbolique ALQH, & AGKF=AIOH; donc GgkK = IL2O : mais GgkK = zdx = mdx, & IL20=udy= ; donc mdx= nady C. 2. F. D. nady a-y a-y COROLLAIRE I. 19. I 1 est clair 1o. Que la courbe AMD ne passera point au centre C du cercle, puisqu'elle coupe tous les rayons à angles égaux. 2°. Qu'elle fera une infinité de tours autour du même centre: car'lorsque AG sera égale à la circon ference APBA, le point M de la courbe sera sur le rayon CA: & comme l'espace Hyperbolique HACBS est infini, avant que de l'avoir épuisé, il faudra prendre sur AG prolongée à l'infini, une infinité de fois APBA; c'est pourquoi la courbe AMD rencontrera une infinité de fois le rayon CA, & fera par consequent une infinité de cours autour du centre C. COROLLAIRE II. 20. On tire de l'équation que l'on vient de construire mdx.ndy::a.a-y; d'où il fuit que si l'on prend dx pour constante, ou ce qui revient au même, si les parties AP croissent également en devenant Ap, ou, croiflent en proportion arithmetique, les appliquées PM, ou CM, seront (n°. 17.) en proportion geometrique, c'est pourquoi cette courbe est nommée Logarithmique Spirale. REMARQUE. 21. Si l'on changeoit l'équation précedente mdx = mady a-y en celle-ci adx = naady en divisant par m, & en multipliant par a, ou adx = y, en supposant m=n; aprés ma-my aady a-y avoir construit l'Hyperbole selon l'une de ces deux dernieres équations, on construiroit la courbe AMD en prenant le secteur ACP égal à la moitié de l'espace hyperbolique HAIO, & le cercle décrit de Cpar I, couperoit CP au point M qui seroit à la courbe AMD ; & cette courbe feroit encore une Spirale logarithmique, qui auroit les mêmes proprielez que la précedente: car (Const.) le secteur ACP=A10H, & ACp= x ALQH; donc PCp=1L20: mais PCpadx, & naady La construction dela courbe du Problême précedent ne dépend que de la quadrature de l'Hyperbole: mais celles des courbes de celui-ci dépend de la quadrature de l'Hyperbole, & de celle du cercle tout ensemble. PROPOSITION VI. A PROBLEME. 22. UN demi cercle ADB, dont le diametre est AB, & le centre C, étant donné; il faut trouver un point M hors du demi cercle, d'où ayant abaisse fur AB la perpendiculaire MP qui rencontrera la circonference ADB en D ; la partie MD de la perpendiculaire MP foit égale à l'arc BD, & que le rectangle BP × PM foit égal au quarré du demi diametre BC. Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la don nee AC, ou CB, a ; & les indéterminées BP, x ; PM, 1; MD, S; l'arc BD, u; AP sera, 2a - x; l'on aura par la premiere condition du Problême, /=, qui est (no. 8.) une équation à la roulette à base droite, dont le point décrivant est sur la circonference du cercle generateur; & par la seconde condition, l'on aura xy=aa, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymp. totes. Pour construite l'équation à la roulette = u; ayant supposé que le point B de la circonference BDA, soit le point generateur, & mené AT perpendiculaire à AB, on fera rouler le demi cercle BDA sur la droite AT qui le touche en A, & le point B décrira par son mouvement la roulette BMT. Pour construire l'équation à l'Hyperbole xy = aa, on menera le rayon CF parallele à AT, & l'on décrira (art. 14.) par le point F, l'Hyperbole FM qui coupera la roulette BMT au point cherché M. DEMONSTRATION. AYANT mené par le point M la droite MP perpendiculaire à AB, sa partie MD, comprise entre le point M, & la circonference BDA, sera par la proprieté de la roulette égale à l'arc BD, ce qui est en termes algebriques fu. Et par la proprieté de l'Hyperbole (art. 14.) le recrangle BPxPMBC', се , ce qui est en termes algebriques xy = aa. C. 2F.D. REMARQUE. PARCE ARCEQUE la roulette BMT est ( no. 12) une courbe méchanique; il suit que la construction de ce Problê.. me est aussi méchanique, quoique l'Hyperbole FM foir une courbe geometrique. L'on remarquera aussi que la construction des Problêmes méchaniques ne differe point de celle des Problêmes geometriques, lorsqu'on les construit par le moyen de deux équations indéterminées. L'on pourroit trouver une équation differentielle pour la roulette, & la décrire par les règlesexpliquées dans la Propofition quatrième : car ayant mené par le point p, pris infiniment proche de P, la droite psm parallele à PDM; par les points D & Mles petites droites DR, MI paralleles à AB; MK parallele à DS, ou à la touchante en D du cercle BDA; & le rayon CD. En A nommant encore BP, x; PM,y; PD, z; & DM, f; BD,u; Pp, ou DR, ou MI sera dx; RS, dz; IM, dy KM. df; or puisque l'arc BD = DM, & B$ =Sm, l'on aura DS = Km, ou df = du. A cause des paralleles DR, MI & DS, MK, les petits triangles DRS, MIK feront semblables, & égaux; & partant RS = dx=IK; donc dy (= IM = IK +Km =dz+df)=dz + du, en mettant pour dssa valeur du. Mais les triangles rectangles DRS, DPC étant femblables, puisque les angles RDS, PDC font tous deux le complement de l'angle RDC ; l'on aura DP (2).PC adx - xdx = dz, & DP (z)· (a - x) :: DR (dx).RS= adx 2 du; mettant donc DC(a) :: DR (dx). DS = dans l'équation précedente dy = dz + du, en la place de dz & du, leurs valeurs adx - xdx aura dy adx & l'on ל = Enfin par la proprieté du cercle, l'on a AP× PB=PD", ou en termes algebriques donc z = Vaax - xx, & mettant cette valeur de z dans l'équation dy zadx - xdx zadx - xdx Vrax - xx د elle se changera en celle-ci dy = , qui est une équation differentielle, où il n'y a que deux indéterminées, & leurs differences. L'on décrira (no. 14 & 15.) par le moyen de cette équation, la roulette BMT, dont l'interfection M aves I'Hyperbole FM réfoudra le problême proposé. FIN. De l'Imprimerie de JACQUE QUILLAU, Imp. Jur. Lib. de l'Un, rue Galande, prés la rue du Fouare, |