position foit telle qu'on vient de dire dans l'observation précedente; on placera enfuite les autres, comme on voudra. Mais on peut presque toujours se dispenser d'en employer plus de deux, en exprimant les autres lignes inconnues, dont on a besoin, ou par la propriété du triangle rectangle, ou par celle des triangles semblables,

3. S'il y a un point donné B fur un des côtez AH FIG. 3. d'un angle donne GAH; la droite BC perpendiculaire à AH, ou parallele à quelque ligne donnée de position, sera donnée de grandeur & de position; comme aussi les intervalles AB, AC ; & partant ces lignes peuvent être nommées par des lettres connues a, b, c. Mais fi le point B, est cherché, les lignes AB, BC, AC feront indéterminées, ou variables: & l'on en pourra nommer deux AB & BC, ou AC & BC par deux lettres inconnues x, & y: car elles ont les qualitez requises par la premiere Observation.

4. S'il y a un point donné D hors d'une ligne AB FIG. 5. donnée de position & de grandeur, la ligne DC perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de position, & les deux parties AC, CB, de la ligne AB feront aussi données de grandeur & de position. Mais fi le point D eft cherché, les lignes DC, AC, & CB feront variables, & l'on pourra nommer une des parties AC, de la donnée AB, x ; CD y; & CB (ayant nommé AB, a) sera a-x.

5. Un angle GAH, & un point B au dedans de cet FIG. 6.7. angle (Fig. 6), ou au dehors (Fig. 7) étant donnez de position; les paralleles BC, BD, ou leurs égales AC, AD, seront aussi données, & on les pourra nommer a & b: mais fi le point B eft cherché, les paralleles AC, AD, feront inconnues, & on les pourra nommer x, & y.

6. Ce feroit la même chose, si le point B étoit donné FIG. 8. ou cherché sur une courbe donnée HBG, dont AG, & AH font les deux axes, ou deux diametres conjuguez : mais le point B étant cherché, on pourroit nommer GC, & CB, ou HD, & DB, ou ( fi la courbe rencon

troit encore CG prolongée en un point F) FC, &CB, x & y.

7. Lorsqu'on détermine par une operation repetée, plusieurs points B sur un plan où il y a des lignes qui servent à déterminer tous ces points, & qu'on veut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle les mêmes points se doivent rencontrer, il faut toujours nommer par une lettre inconnue, quelque ligne; comme BC, qui part d'un des points B, & qui étant parallele à quelque ligne donnée AH, rencontre une autre ligne AG donnée de position en quelque point C,& nommer par une autre lettre inconnue quelque partie de la ligne AG comprise entre le point variable C, & quelque point fixe A, ou G.

8. Un angle GAH, & un point fixe D hors de cet angle, étant donnez de position sur un plan; s'il s'agit de mener une ligne DEF par quelque point cherché E ou F sur un des côtez de cet angle, dans de certaines conditions, les parties AE, AF seront inconnues, & pourront être nommées x x, & y: mais les paralles DB, DC, aux côtez AH, AG, ou leurs égales AC, AB seront données, & pourront être nommées, a, & b.

9. Si l'on eft obligé de tirer des lignes autrement que selon les regles contenues dans les Observations precedentes; on les tirera de maniere qu'elles forment plûtôt dans la figure, fur laquelle on opere, des triangles semblables, que des triangles rectangles: car les triangles semblables donnent des équations plus simples que les triangles rectangles.

10. La proprieté du triangle rectangle, & des triangles semblables, donnent presque toutes les équations dans lesquelles on tombe, en appliquant l'Algebre à la

Geometrie.

11. Les hypothenuses des triangles rectangles doivent toujours être exprimées par le moyen des deux côtez qui forment l'angle droit, à moins qu'elles ne foient données de grandeur. Ainsi les deux côtez étant nommez x

&

&y, l'hypothenuse sera √xx + yy.

12. On ne doit jamais nommer les lignes égales, ou

qui doivent être égales, par des lettres differentes.

13. S'il y a de la difficulté à employer, & à nommer des lignes qui semblent necessaires à la resolution d'un Problême ; on pourra employer en leur place d'autres lignes, pourvû qu'elles ayent entr'elles le même rapport. Par exemple, en supposant que BC, & DE foient paral. FIG. 3. leles, s'il s'agit d'employer AB, & BD; & que AC, & CE soient nommées; on pourra employer AC, & CE au lieu de AB, & BD; puisque AC. CE :: AB.BD.

14. On abrege le calcul, & on trouve souvent des équations plus simples, en prenant pour l'origine des inconnues le point qui divise par le milieu une ligne donnée de grandeur: & l'on tombe par ce moyen dans un principe tres-connu, & qui est souvent d'un grand secours dans l'Application de l'Algebre à tous ses ufages.

Le voici.

15. La moitié de la somme de deux grandeurs, plus la moitié de leur difference est égale à la plus grande; & la moitié de la somme de deux grandeurs, moins la moitié de leur difference est égale à la plus petite. Ainsi, nommant la somme 2m, & la difference 2n; la plus grande sera m+n, & la plus petite m-n.

16. Il n'est pas necessaire de prendre tant de précautions, pour nommer les lignes de la figure sur laquelle on opere, quand il s'agit de démontrer un Theorême: car comme il n'y a point de lignes dont il soit necessaire de déterminer la longueur, on les peut toutes nommer par telles lettres qu'on voudra, connues, ou inconnues: mais on doit toujours suivre les regles précedentes pour tirer les lignes necessaires.

On confidere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes à refoudre. Et en ce cas, on peut suivre les principes précedens.

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AVERTISSEMENT.

Toutes ces Obfervations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans l'Application de l' Algebre à laGeometrie: mais la premiere & la septième font les plus confiderables de toutes scar en suivant ce qui y est prescrit, les Problèmes indéterminez, feront toujours refolus par la voye la plus fimple, ou plutot par la seule voye naturelle; c'est pourquoi fi en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la position n'est point conforme à ce qui est dit dans ces deux Obfervations. Mais parcequ'on ne peut pas construire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raisons que l'on a dites art. 3. n. 17; oneft quelquefois obligé d'abandonner ces deux Obfervations. Voici à peu près ce qu'il y a à obferver, quand on les veut fuivre.

17. Quand en résolvant un Problême avec deux inconnues, suivant la premiere Observation, on trouvera deux équations indéterminées; le Problême sera déterminé, & on le pourra conftruire avec ces deux équations, fi elles se rapportent toutes deux à la ligne droite ou l'une à ligne droite, & l'autre au cercle, ou toutes deux au cercle; car il n'y a point de lignes plus simples que la droite, & la circulaire.

18. Si l'une de ces deux équations indéterminées se rapporte au cercle, & que l'autre foit du seconddegré, il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues, & si l'équation déterminée qui en resulte, n'est point du premier, ou du second degré, on examinera fi elle ne peut point être divisée par quelque binome compofé de quelqu'un des diviseurs du dernier terme, & d'une puiffance du premier qui lui foit égale, pour la réduire, fi cela se peut, à une équation déterminée du second degré. Si par ce moyen on n'y réuffit point, il faudra, fi elle eft du quatrième degré, faire évanouir le fecond

terme, la transformer en une équation du troisieme, & voir fi elle ne peut point ensuite être divisée par quelque bino me, compose d'un des diviseurs de deux dimensions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renfer me; & la réduire par ce moyen à une équation du fecond degré. Mais fi l'on ne trouve aucun binome plan, qui puisse divifer l'équation transformée, le Problême fera folide, & on pourra le construire avec les deux équa tions indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuvième Section ; & la construction sera même beaucoup plus fimple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation déterminée, qui resulte de l'évanouif sement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les constructions des Problêmes folides de la neuvième Section, avec celles de la dixième.

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19. Si par la feule division l'équation déterminée peut être réduite à une équation du second degré, le Prolême fera plan, & on le construira par le moyen de l'équation réduite à deux dimensions, comme on enfeignera dans la Section suivante.

Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du second degré, il faut employer la transformation, on pourroit encore le construire par le moyen de l'une des deux équations du second degré que l'on en tire: mais la construction en sera beaucoup plus simple, si en abandonnant ce qui est dit dansla premiere Observation, on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, selon qu'on le jugera necessaire, & que par ce moyen on puiffe venir à une équation déterminée du second degré. Et fil'on n'y réussit pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême est simple, on peut trouver une équation simple, & conforme à sa nature, soit d'une maniere, foit

d'une autre.

20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se rapporte point au cercle, & n'y puisse être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement;

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