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position soit telle qu'on vient de dire dans l'observation precedente ; on placera ensuite les autres, comme on voudra. Mais on peut presque toujours se dispenser d'en employer plus de deux , en exprimant les autres lignes inconnues, dont on a besoin , ou par la propriété du triangle rectangle, ou par celle des triangles semblables, * 3. S'il y a un point donné B fur un des côtez AH FIG. 3.d'un angle donné GAH; la droite BC perpendiculaire à AH, ou parallele à quelque ligne donnée de position, sera donnée de grandeur & de position, comme aufli les intervalles AB, AC ; & partant ces lignes peuvent être nommées par des lettres connues a, b, c. Mais

E si le point-B; est cherché, les lignes AB, BC, AC ferone indéterminées , ou variables : & l'on en pourra nommer deux AB & BC, Ou AC & BC par deux lettres inconnues x , & y car elles ont les qualitez requifes

par la premiere Obfervation. 4. S'il y a un point donné D hors d'une ligne AB F16. s. donnée de position & de grandeur, la ligne DC perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de position, & les deux parties AC, CB, de la ligne AB feront aussi données de grandeur & de position. Mais si le point D est cherché, les lignes DC, AC, & CB se. ront variables , & l'on pourra nommer une des parties AC, de la donnée AB, *; CDy; & CB ( ayant nommé AB, a) sera a

5. Un angle GAH, & un point B au dedans de cet Fig. 6.7. angle (Fig. 6), ou au dehors ( Fig. 7) étant donnez de position; les paralleles BC,BD, ou leurs égales AC, AD, seront aussi données,& on les pourra nommer a &b: mais fi le point B est cherché, les paralleles AC, AD, seront inconnues , & on les pourra nommer x, &y.

6. Ce seroit la même chose, si le poinç B eroit donné Fig. 8. ou cherché sur une courbe donnée HBG, dont AG, & AH sont les deux axes , ou deux diametres conjuguez : mais le point B étant cherché, on pourroit nommer GC, & CB , ou HD, &DB, ou ( fi la courbe rencon

ز ر

- X.

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x & y:

Fig. 8.

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FIG. 9.

troit encore CG prolongée en un point F) FC, &CB;

7. Lorsqu'on détermine par une operation repetée, plusieurs points B sur un plan où il y a des lignes qui servent à déterminer tous ces points, & qu'on veut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle les mêmes points se doivent rencontrer , il faut toujours nommer par une lettre inconnue , quelque li gne ; comme BC, qui part d'un des points B , & qui étant parallele à quelque ligne donnée AH, rencontre une autre ligne AG donnée de position en quelque point C,& nommer par une autre lettre inconnue quelque partie de la ligne AG comprise entre le point variable c, & quelque point fixe Ā, ou G.

8. Un angle GAH, & un point fixe D hors de cet angle , étant donnez de position sur un plan ; s'il s'agit de mener une ligne DEF par quelque point cherché E ou F sur un des côtez de cet angle, dans de certaines conditions, les parties AE, AF seront inconnues, & pourront être nommées x,&y: mais les paralles DB, DC, aux côtez AH, AG , ou leurs égales AC, AB seront données , & pourront être nommées, a, &

,

& b. 9. Si l'on est obligé de tirer des lignes autrement que selon les regles contenues dans les Observations precedentes; on les tirera de maniere qu'elles forment plûtôt dans la figure , sur laquelle on opere , des triangles semblables

, que des triangles rectangles : car les triangles semblables donnent des équations plus simples que les triangles rectangles.

10. La proprieté du triangle rectangle, & des triangles semblables, donnent presque toutes les équations dans lesquelles on tombe, en appliquant l’Algebre à la Geometrie.

11. Les hypothenuses des triangles rectangles doivent toujours être exprimées par le moyen des deux côtez qui forment l'angle droit, à moins qu'elles ne soient données de grandeur. Ainsi les deux côtez étant nommez x

&

13. S'il

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FIG. 3.

&y, l'hypothenuse sera v xx + yy.

12. On ne doit jamais nommer les lignes égales, ou
qui doivent être égales, par des lettres differentes

.
y a de la difficulté à employer, & à nommer
des lignes qui semblent necessaires à la resolution d'un
Problème ; on pourra employer en leur place d'autres
lignes, pourvû qu'elles ayent entr'elles le même rapport.
Par exemple , en supposant que BC,&DE soient paral-
leles , s'il s'agit d'employer AB , & BD; & que AC, &
Ce soient nommées ; on pourra employer AC, & ce
au lieu de AB , &BD ; puisque AC.CE :: AB .BD.

14. On abrege le calcul , & on trouve souvent des
équations plus limples, en prenant pour l'origine des in-
connues le point qui divise par le milieu une ligne don-
née de grandeur : & l'on tombe

par ce moyen dans un principe tres-connu , & qui est souvent d'un grand secours dans l’Application de l’Algebre à tous les ufages. Le voici.

15. La moitié de la somme de deux grandeurs, plus la moitié de leur difference est égale à la plus grande ; & la moitié de la somme de deux grandeurs, moins la moitié de leur difference est égale à la plus petite. Ainsi, nommant la somme 2m, & la difference 2n; la plus grande sera m+n, & la plus petite m— n.

18. Il n'est pas necessaire de prendre tant de précau-
tions, pour nommer les lignes de la figure sur laquelle on
opere , quand il s'agit de démontrer un Theorême : car
comme il n'y a point de lignes dont il soit necessaire
de déterminer la longueur, on les peut toutes nom-
mer par telles lettres qu'on voudra , connues , ou incon.

,
nues : mais on doit toujours suivre les regles préceden-
tes pour tirer les lignes necessaires.

On considere neanmoins quelquefois les Theorêmes
qu'on veut démontrer , comme des Problêmes à resou-
dre. Et en ce cas, on peut suivre les principes précedens.

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A VERTISSEMENT.

د

Toutes ces observations peavent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans l'Application de l'Algebre à la Geometrie: Mais la premiere & la septiéme font les plus confiderables de toutes ; car en suivant ce qui y est prescrit, les Problèmes indéterminez, seront toujours refolus par la

voye

la plus fimple , ou plutôt par la seule voye naturelle; c'est pourquoi si en ce cas , on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la position n'est point conforme à ce qui est dit dans ces deux Observations. Mais parcequ'on ne peut pas construire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raisons que l'on a dites art. 3. n". 17 ; on eft quelquefois obligé d'abandonner ces deux Observations

. Voici à peu prés ce qu'il y a à obferver , quand on les veut fuivre.

د

17. Quand en résolvant um Problême avec deux inconnues , Tuivant la premiere Observation, on trouvera deux équations indéterminées ; le Problêine sera déterminé, & on le pourra construire avec ces deux équations, fi elles se rapportent toutes deux à la ligne droite , ou l'une à ligne droite , & l'autre au cercle, ou toutes deux au cercle ; car il n'y a point de lignes plus simples que la droite, & la circulaire,

18. Si l'une de ces deux équations indéterminées se rapporte au cercle, & que l'autre soit du seconddegré, il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues, & fi l’équation déterminée qui en resulte , n'eft point du premier , ou du second degré, on examinera fi elle ne peut point être divisée par quelque binome composé de quelqu'un des divifeurs du dernier terme , & d'une puisfance du premier qui lui soit égale , pour la réduire , fi cela se peut, à une équation deterininée du second degré. Si par ce moyen on n'y reussit point, il faudra, fi elle est du quatrième degré, faire évanouir le second

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19. Si

terme; la transformer en une équation du troisiéme, & voir fielle ne peut point enfuite être divisée par quelque binome, compose d'un des diviseurs de deux dimensions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renfer me;

& la réduire par ce moyen à une équation du fecond degré. Mais fi "l'on ne trouve aucun binome plan, qui puisse diviser l'équation transformée , le Probleme fera solide, & on pourra le construire avec les deux équa_ tions indéterminées, de la maniere qu’on dira dans la neuvième Section ; & la constru&ion fera même beaucoup plus simple, & plus élegante que celle qu’on rireroit de l'équation déterminée, qui resulte de l'évanouilsement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les constructions des Problêmes solides de la neuviéme Section, avec celles de la dixiéme.

par

la seule division l'équation déterminée peut être réduite à une équation du second degré, le Prolê. me sera plan, & on le construira par le moyen de l'équation réduite à deux dimensions, comme on enseignera dans la Section suivante.

Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du second degré, il faut employer la transformation, on pourroit encore le construire par le moyen de l'une des deux équations du second degré que l'on en tire : mais la construction en sera beaucoup plus simple, si en abandonnant ce qui est dit dans la premiere Observation ,on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire

& de nouvelles, selon qu'on le jugera necessaire, & que par ce moyen on puisse venir à une équation déterminée du second degré. Et si l'on n'y réussit pas du premier coup,

, il faudra encore tenter d'autres voyes ; car quand un Problême est simple, on peut trouver une équation simple, & conforme à la nature , soit d'une maniere , soit d'une autre.

20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se

rapporte point au cercle , & n'y puisse être réduite par la combinaison de l’une avec l'autre, ou autrement;

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