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circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes les perpendiculaires, comme BH font moyennes proportionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on prenne le point B.

DEFINITION.

6. LE s lignes droites ou courbes qui renferment, ou fur lesquelles font tous les points qui resolvent un Problême indéterminé, sont appellez lieux Geometriques. Ain. si la demi circonference ABC est le lieu qui contient tous les points B, d'où l'on peut tirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH, & Hс.

AVERTISSEMENT.

7. Quoique l'on se propose ici de donner la maniere de démontrer les Theorèmes de Geometrie par le moyen de l'Alzebre; il ne faut pas entendre cela fi generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez : car il y en a d'Elementaires où l'Algebre n'a point de prise. On ne peut, par exemple, démontrer par l' Algebre que le quarré de l'hypothenuse d'un triangle rectangle est égal aux deux quarrez des deux autres côtez, ni que les côtez homologues des triangles semblables font proportionnels. Il en est de même de plusieurs autres ; & c'est particulierement de ces deux Theorèmes que l' Algebre a besoin, & par le moyen desquels on vient à bout de tout, comme on verra dans toute l'étendue de cet Ouvrage. Soit qu'il s'agiffe de refoudre un Problème , ou de dénombrer un Theorème de Geometrie par le moyen de l'Algebre, il est toujours neceffaire de trouver des équations & pour ce sujet il faut nommer toutes les lignes connues, & inconnues qui y peuvent servir, par des lettres de l' Alphabet, avec cette difference que l'on nommera les données ou connues, ou déterminées, ou constantes par les premieres a, b, c,d, &c. & les inconnues ou indeterminées ou variables par les dernieres, r,s, t, u, x, y, z.

Et parcequ'il y a souvent plusieurs chemins pour trouver les équations necessaires pour la démonstration d'an Theorème, ou pour la résolution d'un Problème, on pourroit prendre celui qui Se presenteroit le premier s'ils conduisoient tous à des équations également simples, & d'où l'on pût tirer des constructions égale ment élegantes : mais comme l'on arrive quelquefois à des équations tres composées, en suivant certaines routes, & que l'on arriveroit à de tres-fimples en en suivant d'autres ; il s'enfuit que lorsqu'on ne trouve pas les premieres équations ausquelles on eft parvenu par les premieres suppositions, à ces fimples, il en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne se point rebuter : car lorsqu'un Problème est simple de sa nature, on trouve ordinairement des équations simples pour le refoudre : mais parceque pour trouver des équations simples, cela dépend particulierement des lignes que l'on nomme par des lettres inconnues, c'est-à-dire, qu'en nommant certaines lignes par des lettres inconnues, on arrive à des équations tres-composées, au lieu qu'en en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive fouvent à des équations tres-simples.

8. On ne peut donner de regles précises pour déterminer parmi les lignes inconnues celles que l'on doit nommer par des lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus fimples, ni pour tirer certaines lignes qui font necessaires tant pour la démonstration des Theorèmes, que pour la résolution des Problèmais l'on peut faire certaines remarques, & établir certains principes qui ne laissent pas d'avoirun grand usage dans l'un l'autre cas. Onles trouvera ailleurs.

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II.

PRINCIPES GENERAUX

L

Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie. ORSQU'IL s'agit de refoudre un Problême, ou de démontrer un Theorême de Geometrie, on doit premierement bien entendre ce dont il s'agit, c'està-dire l'état de la question, & bien remarquer les quali. tez des lignes qui doivent former la figure fur laquelle on doit operer: car il y a deslignes données de position feulement; d'autres données de grandeur, & de position tout ensemble; d'autres données de grandeur, & non de position; & d'autres enfin qui ne font données ni de grandeur ni de position.

1. Les lignes données de position seulement, sont celles dont la situation est invariable & toûjours la même mais dont la longueur n'est point déterminée: comme la ligne EFG, qui étant une fois posée dans une situation perpendiculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur & de position tout ensemble, font celles qui ne peuvent changer de situation, & dont la longueur est déterminée, de forte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir: comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois posé dans une fituation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur, & qui ne le font point de position, sont celles dont la grandeur ne peut varier; quoique leur fituation puiffe changer, comme le demi diametre DB, qui demeurent toûjours de même grandeur en quelqu'endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur font aussi appellées lignes connues ou lignes conftantes, & & on les nomme par des lettres connues, a, b, c, d, &c.

Les lignes qui ne sont données ni de grandeur ni de position, font celles qui en changeant de places, changent aussi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de position, font aussi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues x, y, z, &c,

2. Lorsqu'on veut resoudre un Problême, on le doit considerer comme déja resolu, & ayant mené les lignes que l'on juge necessaires, l'on nommera celles qui font connues par des lettres connues, & celles qui font inconnues par des lettres inconnues, & fans faire de distin. ction entre les quantitez connues & inconnues, on exami

nera les qualitez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes;& ces deux expressions d'une même quantité étant égalées l'une à l'autre, donneront une équation qui refoudra le Problême, qui sera déterminé, si elle ne renferme qu'une seule lettre inconnue.

Mais si elle renferme plusieurs lettres inconnues, il faut tâcher par le moyen des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équations que l'on aura employé de lettres inconnues, afin que les faisant évanouir, de la maniere qu'il est enseigne dans tous les livres d'Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une seule; cette équation étant reduite, s'il est necef faire, à ses plus simples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d'Algebre, donnera la solution du Problême qui sera encore déterminé.

Si l'on ne peut trouver autant d'équations que l'on a employé de lettres inconnues, de forte qu'il reste au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Problême sera indeterminé, & aura une infinité de folutions. Enfin, si dans la derniere équation il restoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues, le Problême seroit encore indetermine, mais il seroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point.

Il est souvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il est déterminé ou indetermine; auquel cas on sçait, si ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou si l'on n'en doit trouver qu'une seule: mais il arrive aussi quelquefois que cela n'est pas si facile à diftinguer, & c'est en ce cas qu'il faut tacher de trouver autant d'équations qu'on a employé d'inconnues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Problême.

On n'explique point plus au long ce principe; car tour ce Traité n'en est que l'application. On fe contentera de faire ici quelques reflexions sur les équations qui ne contiennent qu'une feule, ou deux lettres inconnues,

c'est-à-dire sur les équations déterminées, & fur les indeterminées.

DES EQUATIONS DETERMINE'ES.

3. ON sçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines, qu'elle a de dimensions dans le terme où elle est le plus élevée, que ces valeurs font vrayes, fausses, ou imaginaires; on ne dit pas qu'elles soient toutes d'une même espece dans une même équation : car dans une même équation il y en a quelquefois des trois especes, de vrayes, de fausses, & d'imaginaires.

Les racines vrayes ou positives sont celles qui sont précedées du signe +: comme x = + a :

Les racines fausses ou negatives sont celles qui sont précedées du signe -: comme x = a. Les racines Fausses sont d'un grand usage dans la Geometrie; car comme elles font autant réelles que les racines positives, elles fervent à déterminer les positions des courbes autant que les positives, dont elles ne different qu'en ce que les positives devant être prises d'un côté d'un point ou d'une ligne, les fausses doivent être prises de l'autre, comme on verra dans la suite.

Les racines imaginaires sont celles qui font sous un figne radical avec le signe - comme x=v-ab; & comme la valeur de ces racines ne peut être exprimée, on les regarde comme nulles ou = 0; de forte que x=v-ab. doit être regardée comme x = 0.

Dans toutes les équations où il n'y a que deux termes tous deux positifs, l'un connu & l'autre inconnu, si l'exposant de l'inconnue est un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une positive & l'autre negative; toutes les autres feront imaginaires, Par exemple, de xx = aa, l'on tire x =+a, & x=-a; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toûjours xx=aa, puisque-x- donne + aussi bien que +x+, &