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d'autres voyes,

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moyen des

& que l'équation qui résulte de l'évanouillement de l'une des inconnues, soit du troisième ou du quatriéme degré, & ne puisse être réduite par la division, ou par la transformation à une équation du fecond degré ; il faudra par son moyen construire le Problême , comme il sera enseigné dans la dixiéme Section : car il sera necesfairement solide; & quand on chercheroit d'autres équations par

elles ne pourroient être plus simples que par leurs termes , un Problême ne pouvant jamais changer de nature.

21. Enfip li l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatrieme de. gré, & n'y puisse être réduite par la division ; le Problê. me fera lineaire, & on le construira

par

le deux équations indéterminées , comine on dira dans la douziéme Section.

22. La raison de tout ceci , est que pour construire les Problêmes simples , & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle ; puisqu'on le peut coû jours. Et si on les construisoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues, on y employeroit-souvent d'autres courbes , qui ne sont pas si simples que le cercle.

Pour construire les Problèmes solides dont les équations sont du troisième ou quatrième degré, on ne doit employer que le cercle , & une courbe du premier genre , puisque cela se peut aussi toujours.

Mais parceque pour construire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatrième degré, l'on ne peut faire servir le cercle ; leur construction sera plus simple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, selon la premiere Observation, que de toute autre maniere : car, à mon avis , c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire , souvent avec beaucoup de difficulté , de certaines courbes préferablement à d'autres

qui se présentent naturellement , & dont la description est fouvent tres-simple: en quoi je voudrois que les courbes fussent preferées, sans avoir égard à leur genre,

de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

A v ERT ISS E MEN T. Lorsqu'on sçait qu'un Problème est fimple, ou plan, il nieß point necessaire d'avoir égard à la premiere observation , ni d'employer deux lettres inconnues pour le resoudre

. Il y a aussi des problèmes fi fimples, qu'il n'y a aucune difficulté , ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la suite de cet ouvrage, qui n'en eftque l’Application, & un Commentaire.

au 09

** GHz)

S E C ΤΙ Ο Ν ΙΙ.

ab

l'on donne la maniere d'exprimer Geome

triquement les quantitez Algebriques, & de resoudre les Problèmes simples, & plans; ou ce qui est la même chose", de construire les équations déterminées du premier & du second degré. v. O

N peut exprimer Geometriquement toutes les quantitez Algebriques, par le moyen des

quatre operations suivantes, qui sont de trouver des troisiémes, quatriémes, & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la somme , ou de la difference de deux ou de plusieurs quarrez, 1. Pour exprimer Geometriquement and, ayant mené

; FIG. 3. une ligne droite AH , dont l'extremite A soit fixe , fait

AB=C, AD=a, mené BC=b, qui fasse avec AB «n
angle quelconque ABC s'il n'est pas determine d'ailleurs,
& mené ACG ; la ligne DE parallele à BC sera
à cause des paralleles BC, DE ,l'on aura AB (C). AD
(a):: BC (6). DE=. Ce seroit la même chose s'il

"
falloit exprimer geometriquement : car il n'y auroit
qu'à faire BC=AD=a , aprés avoir fait AB=c; où
l'on remarquera que toute quantité fractionaire peut
être regardée comme le quatrieme terme d'une
portion qui renferme les trois autres , & dont le déno-
minateur est le premier.

ab

: car

ab

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C

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pro.

14 tab

De même pour exprimer geometriquement -7

, en réduisant en proportion l'on ac+d.a+b::a. Faisant donc AB =[+d , AD=a+b, BC=a; De parallele à BC, fera

** + ab. Ce sera la même chose

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ز

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- bb

: car en

.bb

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ment

aab
cd

A

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aab
cd )

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si l'on veut exprimer geometriquement
réduisant en proportion l'on a .f.a +6:: a-b..

Semblablement , pour exprimer geometrique

qui contient deux proportions ,c.a:: a. 7. & d. 6:44 l'on exprimera d'abord

comme on vient de voir pour les quantitez précedentes, & ensuite

Il en est ainsi des autres quantitez fractionnaires. 2. Pour exprimer geometriquement Vab. Il faut prendre sur une ligne droite AH, AD=a,& DB=b; Fig. 10. & ayant décrit un demi cercle sur le diametre AB; la perpendiculaire D E au point D, sera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a (AD).*(DE)::*(DE). b:( DB ); dont xx=ab, &x=Vab. De même pour exprimer Vaa+ ab, on voit que aa+ab, est la produite de a+b; par a. Ainsi ayant fait AD=a+b; & DB

,

ag b

cd

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Semblablement , pour exprimer Vaabb; puisque aabb, est le produit de a + b par ab, en faisant

-6 AD=a+b,&DB =a b; De sera=Vaa-bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3.

MC

m

mc

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Pour exprimer Vaabb ; ayant trouvé, comme on vient de faire DE=Vaa66, & l'ayant nommée; c, l'on aura au lieu de Vaabb , & l'on trouvera

Fig. 3. ( no. 1. ) DE=", faisant AB=n,BC=m,& AD=c. =

=. 3. Pour exprimer geometriquement Vaa+bb. Puis

que aa+bb est la somme de deux quarrez, il est clair que F1g, 11. si l'on décrit un triangle ABC rectangle en B , un de

ses côtez AB étant nommé a; & l'autre BC b; l'hypothenule AC sera=Vaa+bb. Il ne seroit pas plus dif. ficile d'exprimer la racine de la somme de plusieurs quar:

n

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Pour exprimer geometriquement Vaabb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit un triangle rectangle dont l'hypotenuse loit= a racine du quarré positif, & un des côtez=b racine

du quarré négatif, l'autre côté sera =Vaabb. Ce qui Fig. 12. se fait en cette sorte; soit décrit sur le diametre AB=a,

le demi cercle ACB, & soit inscrit dans le demi cercle la ligne AC=6,& mené CB»; langle ACB, étant droit

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Fig. 13:

à cause du demi cercle; CB sera=Vua - bb. La même chose s'execute encore en la maniere suivante. Soit de crit un demi cercle sur le diametre AB=2a, élevée au centre C la perpendiculaire CH , prise CG=6 racine du quarré negatif, menées EF,& FD paralleles à AB,& à HC,& mené le rayon CF; GF ou CD sera=Vaabb;

; puisque CF=a, &CG, ou DF=b. Cette derniere ma. niere convient mieux à la construction des équations que la precedente.

=

4. Il

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