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& que l'équation qui réfulte de l'évanouiflement de l'une des inconnues, foit du troifiéme ou du quatrième degré, & ne puiffe être réduite par la divifion, ou par la transformation à une équation du fecond degré`; il faudra par fon moyen conftruire le Problême, comme il fera enfeigné dans la dixiéme Section: car il fera neceffairement folide; & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus fimples que par leurs termes, un Problême ne pouvant jamais changer de nature.

21. Enfin fi l'équation qui réfulte de l'évanouiffement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatrième degré, & n'y puifle être réduite par la divifion; le Problême fera lineaire, & on le conftruira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on dira dans la douzième Section.

22. La raison de tout ceci, eft que pour construire les Problêmes fimples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle; puifqu'on le peut tou jours. Et fi on les conftruifoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues, on y employeroit fouvent d'autres courbes, qui ne font pas fi fimples que le cercle.

Pour conftruire les Problêmes folides dont les équations font du troifième ou quatrième degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puifque cela fe peut auffi toujours.

Mais parceque pour conftruire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatrieme degré, l'on ne peut faire fervir le cercle; leur conftruction fera plus fimple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, felon la premiere Obfervation, que de toute autre maniere: car, à mon avis, c'eft en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire, fouvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres.

qui fe préfentent naturellement, & dont la description eft fouvent tres-fimple: en quoi je voudrois que les courbes fuffent préferées, fans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

AVERTISSEMENT.

Lorfqu'on fait qu'un Probleme eft fimple, ou plan, il n'eft point neceffaire d'avoir égard à la premiere obfervation, ni d'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a auffi des Problèmes fi fimples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la fuite de cet Ouvrage, qui n'en eft que l'Application, & un Commentaire.

SECTION II.

Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez, Algebriques, & de refoudre les Problêmes fimples, & plans; ou ce qui eft la même chofe, de conftruire les équations déterminées du premier & du Second degré.

V. N peut exprimer Geometriquement toutes les quantitez Algebriques, par le moyen des qua. tre operations fuivantes, qui font de trouver des troifiémes, quatrièmes, & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la fomme, ou de la difference de deux ou de plufieurs quarrez.

ab

1. Pour exprimer Geometriquement; ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extremité Afoit fixe, fait AB=c, AD=a, mené BC=b, qui faffe avec AB un angle quelconque ABC,s'il n'eft pas determiné d'ailleurs, & mené ACG; la ligne DE parallele à BC sera : car à caufe des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD (a) :: BĊ (b). DE=. Ce feroit la même chose s’il

ab

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aa

ab

C

falloit exprimer geometriquement: car il n'y auroit qu'à faire BC=AD=a, aprés avoir fait AB=c; où l'on remarquera que toute quantité fractionaire peut être regardée comme le quatriéme terme d'une proportion qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur eft le premier.

De même pour exprimer geometriquement

en réduifant en proportion l'on ac+d. a+b::a.

aa+ab

aa+ab

c + d

Faifant donc AB=c+d, AD=a+b, BC=a; DE

parallele à BC,

ag + ab

fera =

Ce fera la même chose

aa -

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-bb

fi l'on veut exprimer geometriquement : car en réduifant en proportion l'on a a. c. a+b:: amb..

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aab
cd

Semblablement, pour exprimer geometrique

aa

ment qui contient deux proportions, c.a:: a. ===, &

d.b

::

a a

C

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l'on exprimera d'abord, comme on vient de voir pour les quantitez précedentes, & ensuite

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Il en est ainsi des autres quantitez fractionnaires.

2. Pour exprimer geometriquement Vab. Il faut prendre fur une ligne droite AH, AD=a,& DB=b, FIG. IC & ayant décrit un demi cercle fur le diametre AB; la perpendiculaire DE au point D, sera égale à Vab : car nommant DE, x; l'on aura a (AD) . x ( DE ) : : x (DE). b(DB); dont xx=ab, &x=Vab. De même

pour

exprimer Vaa+ab, on voit que aa+ab, est la produite de a+b; par a. Ainfi ayant fait AD=a+b, & DB

a; DE, fera Vaa+ab.

Semblablement, pour exprimer Vaa― bb; puifque aa-bb, eft le produit de a+b par a-b, en faifant AD=a+b,&DB=a—b; DE fera-Vaa-bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir n°. 3.

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on vient de faire DE=√ aa—bb, & l'ayant nommée; c,

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m

l'on aura au lieu de Vaa-bb, & l'on trouvera

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mc

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FIG. 3. ( n°. 1. ) DE: faifant AB=n,BC=m,& AD=c.

n

,

3. Pour exprimer geometriquement Vaa+bb. Puifque aa+bb eft la fomme de deux quarrez, il eft clair que FIG. II. fi l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses côtez AB étant nommé a; & l'autre BC b; l'hy

=

pothenule AC fera Vaa+bb. Il ne feroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la fomme de plufieurs quar

rez, comme Vaa+bb+cc, &c.

Pour exprimer geometriquement Vaa―bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit un triangle rectangle dont l'hypotenufe foitracine du quarré pofitif, & un des côtez=b racine

= Ń

du quarré négatif, l'autre côté fera =Vaa—bb. Ce qui FIG. 12. fe fait en cette forte; foit décrit fur le diametre AB=a, le demi cercle ACB, & foit infcrit dans le demi cercle la ligne AC=b, & mené CB», l'angle ACB, étant droit

FIG. 13.

à caufe du demi cercle; CB sera=√aa—bb. La même chofe s'execute encore en la maniere fuivante. Soit décrit un demi cercle fur le diametre AB=2a, élevée au centre C la perpendiculaire CH, prise CG=b racine du quarré negatif,menées EF,& FD paralleles à AB, 8

&

à HC, & mené le rayon CF; GF ou CD fera=√aa—bb; puifque CFa, & CG, ou DF= b. Cette derniere maniere convient mieux à la construction des équations que la precedente.

4. Il

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