& que l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, soit du troisième ou du quatrième degré, & ne puisse être réduite par la division, ou par la transformation à une équation du fecond degré; il faudra par son moyen construire le Problême, comme il sera enseigné dans la dixiéme Section: car il sera neceffairement folide; & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus simples que par leurs termes, un Problême ne pouvant jamais changer de nature.

21. Enfin si l'equation qui résulte de l'évanouissement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatrième degré, & n'y puisse être réduite par la division; le Problême sera lineaire, & on le construira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on dira dans la douziéme Section.

22. La raison de tout ceci, est que pour construire les Problêmes simples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle; puisqu'on le peut toujours. Et fi on les construisoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues, on y employeroit souvent d'autres courbes, qui ne sont pas si simples que le cercle.

Pour construire les Problêmes solides dont les équations sont du troisième ou quatrième degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puisque cela se peut aussi toujours.

Mais parceque pour construire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatrième degré, l'on ne peut faire servir le cercle; leur construction sera plus fimple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, selon la premiere Obfervation, que de toute autre maniere: car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire, souvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes preferablement à d'autres qui se présentent naturellement, & dont la description est souvent tres-simple: en quoi je voudrois que les courbes fussent préferées, sans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

AVERTISSEMENT.

Lorsqu'on sçait qu'un Problème est fimple, ou plan, il n'est point necessaire d'avoir égard à la premiere observation, ni d'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes si simples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la suite de cet Ouvrage, qui n'en est que l'Application, & un Commentaire.

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SECTΙΟΝ ΙΙ.

Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez Algebriques, & de refoudre les Problêmes simples, & plans; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du premier & du Second degré.

V.

N peut exprimer Geometriquement toutes les quantitez Algebriques, par le moyen des qua. tre operations suivantes, qui sont de trouver des troisiémes, quatrièmes, & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la somme, ou de la difference de deux ou de plusieurs quarrez.

ab

1. Pour exprimer Geometriquement ; ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extremite Asoit fixe, fait AB=c, AD=a, mené BC=b, qui fasse avec AB un angle quelconque ABC, s'il n'est pas determiné d'ailleurs, & mené ACG; la ligne De parallele à BC sera : car à cause des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD (a):: BC (b). DE=-. Ce seroit la même chose s'il

ab

falloit exprimer geometriquement

aa

ab

C

: car il n'y auroit qu'à faire BC=AD=a, aprés avoir fait AB=c; où l'on remarquera que toute quantité fractionaire peut être regardée comme le quatriéme terme d'une proportion qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur est le premier.

aa+ab

De même pour exprimer geometriquement;

c+d

en réduisant en proportion l'on a c + d. a+b :: a. ax + ab Faisant donc AB=c+d, AD=a+b, BC=a; DE

ment aab

.

aa-bb

: car en c.a+b::a-b....

Semblablement, pour exprimer geometrique

aa

qui contient deux proportions, c.a:: a. &

d.baa aab

C

cd

a a

l'on exprimera d'abord comme on vient de voir pour les quantitez précedentes, & enfuite

aa b

cd

Il en est ainsi des autres quantitez fractionnaires.

2. Pour exprimer geometriquement Vab. Il faut prendre sur une ligne droite AH, AD=a, & DB=6, FIG. 1C. & ayant décrit un demi cercle sur le diametre AB ; la perpendiculaire Deau point D, sera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a (AD). x (DE) :: x (DE). b (DB); dont xx=ab, &x=Vab. De même pour

exprimer Vaa+ab, on voit que aa+ab, est la produite de a+b; par a. Ainsi ayant fait AD=a+b, & DB

= a; DE, sera Vaa+ab.

i

:

Semblablement, pour exprimer Vaa - bb; puisque aa-bb, est le produit de a+b par a -b, en faisant AD=a+b, & DB = a - b; DE fera Vaa-bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme

:

=

on va voir no. 3.

:

m

Pour exprimer Vaa-bb; ayant trouvé, comme

on vient de faire DE=√aa-bb, & l'ayant nommée; c,

m

l'on aura au lieu de Vaa-bb, & l'on trouvera

72

mc

n

FIG. 3. (n. 1.) DE=, faisant AB=n,BC=m,& AD=c. 3. Pour exprimer geometriquement Vaa+bb. Puifque aa+bb eft la somme de deux quarrez, il est clair que FIG. 11. si l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses côtez AB étant nommé a; & l'autre BCb; l'hy

pothenuse AC sera Vaa+bb. Il ne seroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la somme de plusieurs quar.

rez, comme Vaa+bb+cc, &c.

Pour exprimer geometriquement Vaa-bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant dé crit un triangle rectangle dont l'hypotenuse soit = a racine du quarré positif, & un des côtez=b racine

du quarré négatif, l'autre côté sera =Vaa-bb. Ce qui FIG. 12. se fait en cette forte; soit décrit sur le diametre AB=a, le demi cercle ACB, & foit inscrit dans le demi cercle la ligne AC = b, & mene CB; l'angle ACB, étant droit

à cause du demi cercle; CB sera Vaa-bb. La même chose s'execute encore en la maniere suivante. Soit déFIG. 13. crit un demi cercle sur le diametre AB=2a, élevée au centre C la perpendiculaire CH, prise CG = b racine du quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB, &

à HC, & mene le rayon CF; GF ou CD sera Vaa-66; puisque CF = a, & CG, ou DF= b. Cette derniere maniere convient mieux à la construction des équations que la precedente.