Imágenes de páginas
PDF
EPUB

aa bb cd

b

[ocr errors]

4. Il y a des quantitez Algebriques plus compofées que celles dont on vient de parler ( no. 1, 2, 3 ; ) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'aprés y avoir fait certains changemens. Or ces changemens confiftent particulierement à mettre l'expreffion Algebrique d'un quarré en la place de l'expreffion Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expreffion Algebrique d'un rectangle dont un côté foit donné en la place d'un autre rectangle, ou d'un quarré. Ainfi pour exprimer geometriquement cette quantité fractionnaire ,dont le numerateur n'eft point le produit de deux quantitez que l'on puiffe feparer par la divifion; & qui ne peut par confequent être réduite en analogie; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté foita, & le rectangle Algebrique cd, en un autre rectangle Algebrique, dont un côté foit auffi a, afin que la lettre a fe trouve dans tous les termes. Soit pour ce fujet x, le côté du rectangle qui doit être égal â bb, dont l'autre côté eft la ligne donnée, exprimée par a; l'on aura, selon les termes de la question, ax=bb; donc ayant donc (n°. 1) exprimé geometriquement

x

bb

bb

; & l'ayant nommée ƒ ; l'on aura ƒ=x; & partant afbb. Soit femblablement y le côté du rectangle qui ty doit être égal à cd, dont l'autre côté eft la même donnée a ; l'on aura ay = cd; donc y=: & ayant nom

cd

a

[ocr errors]

a

még l'expreffion de trouvée (n°., 1); l'on aura ag cd; la quantité précedente fera donc changée en celle-ci,

aa af — ag

b

en mettant pour bb, & pour cd,

leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui est facile à exprimer; puifqu'on la peut à prefent réduire

E

an+af "g. On en l'analogie fuivante b.a :: a+f—g. b

auroit pû changer le quarré aa, & le rectangle cd, au lieu que l'on a change bb, & cd.

5.

Pour exprimer la quantité Vaa-be, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté foit 6 ou c; b ou bien le rectangle br en un autre, dont un côté soit a; & on en aura enfuite facilement l'expreffion geometrique (n°. 2). Il en eft ainfi des autres.

6. Les manieres dont nous venons de nous fervir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques font generales: on les peut fouvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de pofition, ou en décrivant quelques cercles, felon que l'indique la figure de chaque Problême que l'on conftruit: mais comme ces manieres font par ticulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut réfoudre & conftruire les Problêmes le plus élégamment qu'il lui eft poffible. On les trouvera pratiquées dans plufieurs exemples.

CONSTRUCTION

Des Equations déterminées du premier degré, & de celles du fecond qui n'ont point de fecond terme.

7. N voit clairement que les expreffions geo

Ometriques des quantitez, Algebriques, donnent

auffi la réfolution des équations du premier degré, & de celles du fecond, qui n'ont point de fecond terme; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues, leur valeur feroit déterminée par ces expressions. Par exemple, pour conftruire cette équation

xx=aa — bc, d'où l'on tirex±√aa-be, il n'y a qu'à

exprimer Vaa-be, comme on vient de faire, & l'expreffion prife de part & d'autre, de l'origine de x fera fa valeur pofitive, & negative. Il en eft ainfi des autres.

CONSTRUCTION

Des Equations du fecond degré, qui ont un Second terme.

VI.L

Es Equations du fecond degré qui ont un fecond terme fe peuvent toutes réduire à quel qu'une des quatre formules fuivantes.

I. xx=ax+bb.

2. xx=-ax+bb.

3. xx=ax- bb.

4. xx――ax—bb, dont les racines font,

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors]

1.

CONSTRUCTION

de la premiere & feconde Formule. Pour la premiere & la feconde Formule. Soit dans

OUR

la figure fur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFIG. 14. tion que l'on veut conftruire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point Ala ligne AB perpendiculaire à AH, &b racine du dernier quarrẻ bb; on prendra AC ( Fig. 14.) =—a du côté de H, par rap

port à A pour la premiere formule où il y a +
ya+a; & de
l'autre côté de H (Fig. 15) pour la feconde formule, où
il y a-a;
a; & du centre C l'on décrira par B, le cer-

I

2

cle DBE, qui coupera AH en E, & en D. Je dis que AE fera la valeur pofitive de x, & AD fa valeur nega

tive.

DE'MONSTRATION.

PUISQUE AC=

— a,& AB=b;CB=CE sera

= √2aa+bb; & par confequent x=AE=±

ñcam bb. C. Q.F. D.

*On

On prouvera de même que AD, eft la valeur negative de x qui doit être prise de l'autre côté de A par rapport à H.

FIG. 13. I.

CONSTRUCTION

de la troisième & quatrième Formule.

SOIT OIT A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par rapport à A pour la

troisième Formule, où il y a✦a (Fig. 13.); & de l'autre côté de P fur le prolongement de AP pour la qua

triéme formule, où il y a-a (Fig. 16); l'on décri

ra du centre C & du demi diametre CA =—a le de

2

mi cercle AHB, on élevera enfuite CH perpendiculaire à AB, fur laquelle ayant pris CG=b, racine du dernier quarré, on menera EF parallele à AB, qui coupera le demi cercle aux points E & F, d'où l'on abaisfera les perpendiculaires FD, EI. Je dis que AD & AI, feront les deux valeurs pofitives de x( Fig. 13), pour la troisiéme Formule, négatives (Fig. 16), pour la quatrième.

DEMONSTRATION.

PUISQUE AC ou CF = a,& CG=b;GF, ou CD

AD=x=± 1a

sera=√— aa—bb,& par consequent AD

I

± √ — aa—bb, & AI⇒x=±a √ aa— bb, lesquelles valeurs font toutes deux réelles & pofitives dans la Fig. 13. qui appartient à la troifiéme Formule, & toutes deux réelles, mais négatives dans la Fig. 16 qui appartient à la quatriéme Formule. C. Q.F.D.

3.

REMARQU E.

2

S1b=CG eft==a=CH,le point G tombera en H, les points D & I en C, & les deux valeurs de x, feront égales.

4. Si CG eft plus grande que CH; les deux mêmes valeurs de x feront imaginaires, & le Problême fera impoffible. Ce qui fe connoît auffi par l'inspection des deux Formules que l'on construit.

5. On peut encore conftruire ces équations, en faifant évanouir le fecond terme, aprés quoi on trouvera les valeurs de l'inconnue par l'art. 5. n°. 2.

E iij

[ocr errors]
« AnteriorContinuar »