4. Il y a des quantitez Algebriques plus composées que celles dont on vient de parler (n°. 1,2,3;) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'aprés y avoir fait certains changemens. Or ces changemens consistent particulierement à mettre l'expression Algebrique d'un quarré en la place de l'expression Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expression Algebrique d'un re ctangle dont un côté soit donné en la place d'un autre rectangle, ou d'un quarré. Ainsi pour exprimer geometriquement cette quantité fractionnaire **+bb-ch 6 , dont le numerateur n'est point le produit de deux quantitez que l'on puiffe feparer par la division; & qui ne peut par consequent être réduite en analogie; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté soit a, & le rectangle Algebrique cd, en un au tre rectangle Algebrique, dont un côté soit aussi a, afin que la lettre a se trouve dans tous les termes. Soit pour ce sujet x, le côté du rectangle qui doit être égal à 66, dont l'autre côté est la ligne donnée, exprimée par a; l'on aura, felon les termes de la question, ax=bb; donc bb a bb a ; ayant donc (no. 1) exprimé geometriquement A ; & l'ayant nommée f; l'on aura f=x; & partant afbb. Soit semblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté est la même donnée l'on aura ay=cd; ; donc y= : & ayant nom a; a még l'expression de trouvée (n°. 1); l'on aura ag 6 E : : : en l'analogie suivante b.a :: a+f-g. ^^+of-ng. On auroit pû changer le quarré aa, & le rectangle cd, au lieu que l'on a change bb, & cd. 5. Pour exprimer la quantité Vaa-bc, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit 6 ou c; ou bien le rectangle be en un autre, dont un côté soit a; & on en aura enfuite facilement l'expression geometrique (no. 2). Il en est ainsi des autres. 6. Les manieres dont nous venons de nous servir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques font generales: on les peut souvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de position, ou en décrivant quelques cercles, selon que l'indique la figure de chaque Problême que l'on construit: mais comme ces manieres sont particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut résoudre & construire les Problêmes le plus élégamment qu'il lui est possible. On les trouvera pratiquées dans plusieurs exemples. CONSTRUCTION Des Equations déterminées du premier degré, & de celles du second qui n'ont point de fecond terme. 7. N voit clairement que les expreffions geometriques des quantitez Algebriques, donnent aussi la résolution des équations du premier degré, & de celles du second, qui n'ont point de second terme; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues, leur valeur seroit déterminée par ces expressions. Par exemple, pour construire cette équation xx=aa-bc, d'où l'on tirex=±√aa-bc, il n'y a qu'à exprimer Vaa-bc, comme on vient de faire, & l'expression prise de part & d'autre, de l'origine de x sera sa valeur positive, & negative. Il en est ainsi des autres. CONSTRUCTION Des Equations du second degré, qui ont un Second terme. VI. L Es Equations du second degré qui ont un second terme se peuvent toutes réduire à quel. qu'une des quatre formules suivantes. 4. xx=-ax-bb, dont les racines font, 1 : CONSTRUCTION de la premiere & feconde Formule. 1. POUR Our la premiere & la seconde Formule. Soit dans la figure sur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFIG. 14. tion que l'on veut construire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point Ala ligne AB perpendiculaire à AH, &= b racine du dernier quarré bb; I on prendra AC (Fig. 14.) = a du côté de H, par rap 2 I 2 port à A pour la premiere formule où il y a ++a; & de l'autre côté de H (Fig. 15) pour la feconde formule, où I ilya-a; & du centre C l'on décrira par B, le cercle DBE, qui coupera AH en E, & en D. Je dis que AE sera la valeur positive dex, & AD sa valeur nega tive. DE'MONSTRATION. PUISQUE AC=a, & AB=b;CB=CE fera 2 I 2 =V-aa+bb; & par consequent x =AE=+=a+ I 4 Vcab6. C. 2. F. D. 4 1 On prouvera de même que AD, est la valeur negative de x qui doit être prise de l'autre côté de A par rapport à H. FIG. 13. 1. CONSTRUCTION de la troisième & quatrième Formule. SOIT OIT A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par rapport à A pour la 2 troisieme Formule, où il yaa (Fig. 13.) ; & de l'autre côté de P sur le prolongement de AP pour la quatriéme formule, où il y a -a (Fig. 16); l'on décri I 2 ra du centre C & du demi diametre CA= a le demi cercle AHB, on élevera ensuite CH perpendiculaire à AB, fur laquelle ayant pris CG=b, racine du dernier quarré, on menera EF parallele à AB, qui coupera le demi cercle aux points E & F, d'où l'on abaisserales perpendiculaires FD, EI. Je dis que AD & AI, feront les deux valeurs positives de x (Fig. 13), pour la troisiéme Formule; négatives (Fig. 16), pour la quatrième. DE'MONSTRATION. PUISQUE AC Ou CF=a, & CG=b;GF, ou CD I a fera=√aa-bb,& par consequent AD=x=± 4 2 Vaa-bb, lesquelles valeurs sont toutes deux réelles & positives dans la Fig. 13. qui appartient à la troisieme Formule, & toutes deux réelles, mais négatives dans la Fig. 16 qui appartient à la quatriéme Formule. C. Q. F. D. 3. REMARQUE. Sxb=CGeft==a=CH,le point G tombera 2 en H, les points D & I en C, & les deux valeurs de x, seront égales. 4. Si CG est plus grande que CH; les deux mêmes valeurs de x seront imaginaires, & le Problême sera impossible. Ce qui se connoît aussi par l'inspection des deux Formules que l'on construit. 5. On peut encore construire ces équations, en faisant évanouir le second terme, aprés quoi on trouvera les valeurs de l'inconnue par l'art. 5. no. 2. |