Imágenes de páginas
PDF
EPUB

-ca

[ocr errors]

s donc

ܪ

Il y a des quantitez Algebriques plus composées que celles dont on vient de parler ( no. 1, 2, 3 ;) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'aprés y avoir fait certains changemens. Or ces changemens con, fiftent particulierement à mettre l'expression Algebrique d'un quarré en la place de l'expression Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expression Algebrique d'un re&tangle dont un côté soit donné en la place d'un autre rectangle , ou d'un quarré. Ainsi pour exprimer geometriquement cette quantité fractionnaire le numerateur n'est point le produit de deux quantitez que l'on puisse separer par la division ; & qui ne peut par consequent être réduite en analogie ; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un coré soit a, & le rectangle Algebrique cd, en un au. tre rectangle Algebrique , dont un côté soit auli a, afin que la lettre a se trouve dans tous les termes. Soit pour ce sujet x , le côté du rectangle qui doit être égal å bb, dont l'autre côté est la ligne donnée, exprimée par a; l'on aura, selon les termes de la question, ax=bb; donc X = ; ayant donc (no. 1) exprimé geometriquement

& l'ayant nommée f ; l'on aura f=x; & partant af=bb. Soit semblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté est la même donnée a ; l'on aura ay=cd ; doncy=*: & ayant nommég l'expression de trouvée (no. 1); l'on aura ag =cd ; la quantité précedente sera donc changée en celle-ci, n+f=, en mettant pour bb , & pour cd,

af -'ag leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui est facile à exprimer ; puisqu'on la peut à present réduire

bb

A

bb

A

:

[ocr errors]

=

[ocr errors]

E

[ocr errors]

.

en l'analogie suivante b.a::a+f-8. "+"f?. On auroit pû changer le quarré aa , & le rectangle cd, au lieu que l'on a changé bb , & cd.

s. Pour exprimer la quantité Vaa— be, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit 6 ou c; ou bien le rectangle bc en un autre , dont un côté soit 1; & on en aura ensuite facilement l'expression geometrique (no. 2 ). Il en est ainsi des autres. 6. Les manieres dont nous venons de nous servir

pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques sont generales : on les peut souvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de position, ou en décrivant quelques cercles, selon que l'indique la figure de chaque Probleme que l'on construit:mais comme ces manieres sont particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut résoudre & construire les Problêmes le plus élégamment qu'il lui est possible. On les trouvera pratiquées dans plusieurs exemples.

CONSTRUCTION Des Equations déterminées du premier degré, e de celles du second qui n'ont point

de fecond terme. 7.

N voit clairement que les expressions geo auffi la résolution des équations du premier degré, & de celles du second, qui n'ont point de second terme ; car si ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues, leur valeur seroit déterminée par ces expressions. Par exemple, pour construire cette équation

a

*x=dabc, d'où l'on tirex=+Vaa-br, il n'y a qu'à .exprimer Vaabc, comme on vient de faire ; & l'expression prise de part & d'autre , de l'origine de x sera fá valeur positive , & negative. Il en est ainsi des autres,

CONSTRUCTION

Des Equations du second degré, qui ont un

fecond terme. VI. Es Equations du second degré qui ont un se

cond terme se peuvent toutes réduire à quelqu'une des quatre formules suivantes. .

[blocks in formation]

4. xx=-ax-bb , dont les racines sonr,

AX

[subsumed][ocr errors][subsumed]

1

a

port à

[ocr errors]

CONSTRUCTION

de la premiere e seconde Formule. 1. Pour la premiere & la seconde Formule. Soit dans

la figure sur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFIG.14. tion que l'on veut construire, A le commencement de x & is. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB per

pendiculaire à AH,&=b racine du dernier quarré bb; on prendra AC ( Fig. 14.) =_adu côté de H, par rap

à A pour la premiere formule où il y a +;& de
l'autre côté de H (Fig. 15) pour la feconde formule, où
il y a - a; & du centre c l'on décrira par B,
cle DBE, qui coupera AH en E , & en D. Je dis que
AE sera la valeur positive dex, & AD sa valeur nega-
tive.

DE'MONSTRATION.
PUISQUE AC=+, & AB=b;CB=CE sera

b
= Vaa+bb; & par consequent x=A==

AE=+19+
Vecanta 56. C.2.F. D.

On prouvera de même que AD', est la valeur negative de « qui doit être prise de l'autre côté de A par rap

I

а

le cer

2

a

X

port à H.

F1 G. 13. 1.

CONSTRUCTION
de la troisiéme de quatriéme Formule.
Soul

OIT A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par rapport à A pour la

troisiéme Formule , où il y a + (Fig. 13.) ; & de l'autre côté de P sur le prolongement de AP pour la qua

[ocr errors]

[ocr errors]

La

2

triéme formule , où il y a - • a (Fig. 16 ) ; l'on décri

, ra du centre C & du demi diametre CA

in

Ia le demi cercle AHB, on élevera ensuite CH perpendiculaire à AB, sur laquelle ayant pris CG=b, racine du dernier quarré, on menera EF parallele à AB, qui coupera le demi cercle aux points E & F, d'où l'on abaissera les perpendiculaires FD, EI. Je dis que AD & AI, seront les deux valeurs positives de x! Fig. 13 ), pour la troisié- . me Formule; négatives ( Fig. 16 ), pour la quatriéme.

DE'MONSTRATION. PUISQUE AC OU CF=*,& CG=bGF, ou CD sera=vaabb,& par consequent AD=x=+ + v + aa

laAIx=
–66, & Al=*=+; a IV V aa-

aa -- bb, lesquelles valeurs sont toutes deux réelles & positives dans la Fig. 13. qui appartient à la troisiéme Formule , & toutes deux réelles, mais négatives dans la Fig. 16 qui appartient à la quatriéme Formule. C. Q.F. D.

REMARQUE.
Sib=cGest

== 3.

=a=CH,le point G tombera .en H, les points D & I en C, & les deux valeurs de seront égales.

4. Si CG est plus grande que CH ; les deux mêmes valeurs de x seront imaginaires , & le Probleme sera impossible. Ce qui se connoît aussi par l'inspection des deux Formules que l'on construit.

s. On peut encore construire ces équations, en faisant évanouir le second terme , aprés quoi on trouvera les valeurs de l'inconnue par l'art. 5. no. 2.

s

ad

[ocr errors]
[ocr errors]
« AnteriorContinuar »