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6. LE

circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes les perpendiculaires, comme BH sont moyennes proportionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on prenne le point B. .

DE'FINITION. E s lignes droites ou courbes qui renferment, ou sur lesquelles sont tous les points qui resolvent un Problême indéterminé,font appellez lieux Geometriques. Ain. si la demi circonference ABC est le lieu qui contient tous les points B, d'où l'on peut tirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH,& HC.

AVERTISSEMENT. 7. Quoique l'on se propose ici de donner la maniere de dée montrer

les Theorėmes de Geometrie par le moyen de l'Algebre; il ne faut pas entendre cela fo generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez : car il y en a d'Elementaires ou l'Algebre n'a point de prise. On ne peut , par exemple , démontrer par l'Algebre que le quarré de l'hypothenuse d'un trian. gle rectangle est égal aux deux quarrez des deux autres cotez, ni que les cotez homologues des triangles semblables font proportionnels

. Il en est de même de plusieurs autres ; & c'est particulierement de ces deux Theorêmes que l'Algebre a besoin, e par le moyen desquels on vient à bout de tout, comme on verra dans toute l'étendue de cet ouvrage. Soit qu'il s'agiffe de refoudre un Problème , ou de dénombrer un Theorême de Geometrie par le moyen de l'Algebre , il est toujours necessaire de trouver des équations & pour ce sujet il faut nommer toutes les lignes connues , & inconnues qui y peuvent

servir , par des lettres de l' Alphabet , avec cette difference que l'on nommera les données ou connues, ou déterminées , ou constantes par les premieres a, b, c,d, &c. & les inconnues ou indeterminées,ou va

, riables

par

les dernieres , r, s, t, u, x, y, z. Et parcequ'il y a souvent plusieurs chemins pour trouver les équations necessaires pour la démonstration d'an Theoreme , ou pour la résolution d'un Problème, on pourroit prendre celui qui

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se presenteroit le premier s'ils conduisoient tous à des équations également simples, & d'où l'on pút tirer des constructions égalem ment élegantes : mais comme l'on arrive quelquefois à des équations tres composees,en suivant certaines routes, & que l'on arriveroit à de tres-simples en en suivant d'autres ; il s'ensuit que lorsqu'on ne trouve pas les premieres équations ausquelles on eft parvenu par les premieres suppositions , à ces fimples , il en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne se point rebuter: car lorsqu'un Problème est simple de la nature, on trouve ordinairement des équations simples pour le refoudre : mais parceque pour trouver des équations simples, cela dépend particulierement des lignes que l'on nomme par

des lettres inconnues , c'est-à-dire, · qu'en nommant certaines lignes par des lettres inconnues, on arrive à des équations tres-composées, au lieu qu'en en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive fouvent à des équations tres-fimples.

8. On ne peut donner de regles précises pour déterminer parmi les lignes inconnues celles que l'on doit nommer par des lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus simples, ni pour tirer certaines lignes qui sont necessaires tant pour la monftration des Theorêmes, que pour la résolution des Problemes mais l'on peut faire certaines remarques , & établir certains principes qui ne laisent pas d'avoir un grand usage dans l'un e l'autre cas. Onles trouvera ailleurs.

PRINCIPES GENERAUX Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie. II. ORSQU'IL s'agit de resoudreun Problême, ou

de démontrer un Theorême de Geometrie , on doit premierement bien entendre ce dont il s'agit , c'està-dire l'état de la question, & bien remarquer les quali.. tez des lignes qui doivent former la figure sur laquelle on doit

operer: car il y a des lignes données de position seulement ; d'autres données de grandeur, & de position tout ensemble ; d'autres données de grandeur, & non de position; & d'autres enfin qui ne sont données ni de grandeur ni de position.

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1. Les lignes données de position seulement, sont celles dont la situation est invariable & toûjours la même , mais dont la longueur n'est point déterminée : comme la ligne EFG, qui étant une fois posée dans une situation perpendiculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur & de position tout ensemble, sont celles qui ne peuvent changer de situation, & dont la longueur est déterminée, de sorte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir: comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois posé dans une fi-. tuation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur, & qui ne le sont point de position, sont celles dont la grandeur ne peut varier; quoique leur situation puisse changer, comme le demi diametre DB, qui demeurent toûjours de même grandeur en quelqu'endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur sont aussi appellées lignes connues ou lignes constantes , & & on les nomme par des lettres connues, a, b,c,d, &c.

a, , c Les lignes qui ne sont données ni de grandeur ni de position, sont celles qui en changeant de places, changent aussi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point H s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne sont données ni de grandeur ni de position, font aussi appellées lignes inconnues , indéterminées, ou variables , & on les nomme par des lettres inconnues

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2. Lorsqu'on veut resoudre un Problême , on le doit considerer comme déja resolu, & ayant mené les lignes que l'on juge necessaires , l'on nommera celles

qui

font connues par des lettres connues, & celles qui font inconnues par

des lettres inconnues , & sans faire de distin, ction entre les quantitez connues & inconnues on exami.

nera les qualitez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes;& ces deux expressions d'une même quantité étant égalées l'une à l'autre, donneront une équation qui reloudra le Problême, qui sera déterminé, fi elle ne renferme qu'une seule lettre inconnue.

Mais si elle renferme plusieurs lettres inconnues, il faut câcher par le moyen des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équations que l'on aura employé de lettres inconnues, afin que les faisant évanouir, de la maniere qu'il est enseigné dans tous les livres d’Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une seule ; cette équation étant reduite , s'il est neceffaire, à ses plus simples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d’Algebre , donnera la solution du Problême qui sera encore déterminé.

Si l'on ne peut trouver autant d'équations que l'on a employé de lettres inconnues , de sorte qu'il reste au moins deux inconnues dans la derniere equation , le Probleme sera indeterminé, & aura une infinité de solutions. Enfin, si dans la derniere équation il restoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues , le Problême seroit encore indeterminé, mais il seroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point.

Il est souvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il est déterminé ou indeterminé; auquel cas on sçait , si ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou si l'on n'en doit trouver qu'une seule: mais il arrive aussi quelquefois que cela n'est pas si facile à distinguer, & c'est en ce cas qu'il faut tacher de trouver autant d’équations qu'on a employé d'inconnues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Problême.

On n'explique point plus au long ce principe ; car tout ce Traité n'en est que l'application. On se contentera de faire ici quelques reflexions sur les équations qui ne contiennent qu'une seule , ou deux lettres inconnues,

c'est-à-dire sur les équations déterminées, & fur les indeterminées.

Des EQUATIONS DETERMINE'E s. 3.

On sçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines, qu'elle a de dimensions dans le terme où elle est le plus élevée, que ces valeurs font vrayos, fausses , ou imaginaires; on ne dit pas qu'elles soient toutes d'une même espece dans une même équation : car dans une même équation il y en a quelquefois des trois especes, de vrayes, de fausses, & d'imaginaires.

Les racines vrayes ou positives sont celles qui sont précedées du signe + : comme x = + a:

Les racines fausses ou negatives sont celles qui sont précedées du signe : comme xca. Les racines ;

. fausses sont d'un grand usage dans la Geometrie ; car comme elles sont autant réelles que les racines positives, elles servent à déterminer les positions des courbes autant que les positives, dont elles ne different qu'en ce que les positives devant être prises d'un côté d'un point ou d'une ligne, les faufles doivent être prises de l'autre, comme on verra dans la suite.

Les racines imaginaires sont celles qui font sous un signe radical avec le signe — : comme x=y— ab; & comme la valeur de ces racines ne peut être exprimée, on les regarde comme nulles ou=0; de forte que x=V-ab. doit être regardée comme x = 0.

Dans toutes les équations où il n'y a que deux termes tous deux positifs, l'un connu & l'autre inconnu , si l'exposant de l'inconnue est un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une positive & l'autre negative; toutes les autres seront imaginaires. Par exemple, de xx=aa , l'on tire x=+a , & x=-a; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toûjours xx=aa , puisque ---x donne + aussi bien que +*+,&

X

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