Pour transformer prefentement l'équation B en une équation du troifiéme degré, on fe fervira de cesdeux équations: C.༢༢ ༡༢—/=༠. D. z+y+t=o, que je multiplie l'une par l'autre, pour avoir celle-ci : E. 2+ — S22— Syz-to. qui eft femblable à —— yy ༢༢.— ༡༨. +tzz: l'équation B. Mais pour abreger le calcul, j'égale les quantitez connues de chaque terme de l'équation Bà de fimples lettres connues; à fçavoir, F. 24+ pzz+qz+r=0. Je compare préfentement les deux équations E & F, terme à terme, chacun à fon correfpondant; ce qui me donne les trois équations fuivantes: car les deux premiers termes ne donnent rien. t L'équation / donne =; & mettant en la place de, cette valeur dans les deux équations G & H, & l'on a les deux fuivantes. multipliant enfuite par t, K. tttyy +r=pt. L.tty ry=qt. L'équation K donne tyypt - r, & mettant cette valeur de tt dans l'équation Z, pty → 2 ry=qt, d'où l'on tire M. t = l'on a 2ry ty' y3py + q ; & mettant cette valeur de t dans les équations H & 7, lon G ij aura les deux qui suivent, N. -2ryy 33+py+q − Sy=q; & =r; d'où faisant évanouir l'inconnue, ôtant les fractions, & retranchant ce qui doit être retranché, l'on aura P. y ' +2py * ppyy — qq=0,qui est 4ryy l'équation transformée, & qui fe rapporte au troifiéme degré, & remettant à prefent dans l'équation P, en la place de p, q, & r leurs valeurs, l'on aura, 6 Q.y + +64. - 2 bby + ·2a4 bb aa b4 Si l'on tente prefentement toutes les divifions de cette équation par les binomes qu'on peut former par le quarré de l'inconnue y, c'eft-à-dire, point ici neceffaire de les tenter par aucun autre); , par yy; (car il n'est & par quelqu'un des divifeurs Plans du dernier terme, l'on trouvera qu'elle fe peut diviser par celui-ci. R. yy bb=o; & le quotient sera, S. y++ zaayy+a^ bbyyaabb O. qui eft une équation du fecond degré, & qui par confequent fait connoitre que le Problême eft Plan. Si on veut le réfoudre fans chercher une autre équation du second degré: Voici la méthode qu'on doit suivre. L'on a déja l'équation 0 . -2fry =r, d'où l'on tire T. —————. Il ne s'agit plus que de cher cher une valeur semblable de t; ce qui fe fait en cette forte. L'équation I donne t = l'on au mettant donc cette valeur det dans les deux équations G & H, ra —r—syy —ss = p[, & ry — [[y = qf: & faisant évanouir le quarr郃, l'on aura —r—fyy —¶ =f, d'où l'on tire s= 3 y1 →py — q3 & cette valeur de s, fubftituée dans l'équation I, donne aprés avoir ôté les fractions, & ce qu'il y a à ôter, V.t= zy Si l'on met prefentement dans les deux équations C & D en la place def, & de t leurs valeurs prifes dans les deux équations T, & V, l'on aura les deux fuivantes. y 3 + py + q ༢༢.-- ༡༢.རྞ 2y •,& ou I 2 Mais l'équation R, donne yyaa+bb, & y = aa + bb. ; l'on a auffi p= ÷ ·bb, & q=a3 + abb ; substituant donc dans les deux équations, & y en la place de y, de vy, dep, dep, & de leurs valeurs ; l'on aura aprés les réductions ordinaires, zz=z√aa+bb —— aa— — a√aà +bb, & 22 = −2 √aa+bb — 3 les racines font; aa+—a√aa+bb, dont x=— √aa+bb ±√—— aa+__bb———a√aa+bb, & 'aa+bb ± √ — — pour ôter le second terme de l'équation A, l'on a fait FIG. 31. dont la conftruction réfout le Problême. Il faut demeurer d'accord que cette méthode de M Defeartes, de reconnoitre la nature d'un Problême dont l'équation eft du quatrième degré, & de tirer de cette équation du quatrième degré, deux équations dų fecond, quand le Problême eft Plan, eft parfaitement belle, & digne de fon genie, c'eft pourquoi j'ai jugé à propos de la mettre ici tout au long; parceque je ne l'ai vûe nulle part entierement expliquée. Ileft neanmoins propos, comme on a déja remarqué, aprés avoir reconnu qu'un Problême dont l'équation eft du quatrième degré eft Plan, de chercher par d'autres voyes une équation du fecond degré; parceque la conftru&tion du Problême en devient plus fimple, comme on va voir par cet exemple. me, 15. Les mêmes chofes que dans l'énoncé du Problêétant fuppofées, on prolongera BC vers G, l'on menera EG perpendiculaire à FE, qui rencontrera CG en G, & l'on abaiflera du point E fur CG la perpendiculaire EH : ce qui formera les triangles femblables CBF, CEG, CHE, & EHG: & outre cela les triangles CBF, EHG égaux, puifque BC=EH; c'eft pourquoi ayant nommé les données AB ou AD, a; KL ou FE, b; & les inconnues CG, x; CE,y ; BG sera,a+x; & FC ou EG by ; les triangles femblables CBF, CEG, donneront a (CB). by (CF) y (CE). x ( CG ); donc axbyyy ; & le triangle rectangle CEG donnera CGxxbb — 2by2yy➡CE EG, ou :: 2 + bb -xx 2 l'on tire x = a + √ aa + bb, qui donne cette conftruction. Soit prolongée CD en 1, en forte que CI=KL; décrit du centre B par I, le cercle IG, qui coupera BC prolongée en G, & fur le diametre CG, le demi cercle CEG, qui coupera AD prolongée E &e, ou la touchera en un feul point E, fi le Problême eft poffible, c'està-dire, fi KZ furpaffe ou égale le double de la diagona. le du quarré AC. Je dis que la ligne FE, ou ef KL ; = & que par confequent le Problême eft réfolu, DEMONSTRATION. A Caufe des triangles femblables CBF, CEG.CB. C. Q. F. D. On démontrera de même que ef―KE. A - PROBLEME PLAN. 2 16. LA fomme AB des deux côtez AE, EI d'un triangle F16. 32. Ayant fuppofé le Problème réfolu, foit prolongée AE en B, en forte que EB = EI, & menée par A la ligne AD parallele à EI, & égale à AB; la ligne menée par les points B & I, rencontrera AD en D: car BE=EI, & BA= AD. Soit faite AK perpendiculaire à BD, qui fera divifée par le milieu en K, puifque le triangle BAD eft ifofcele. Ayant enfin mené BH perpendiculaire à AI prolongée, & nommé les données KB, ou KD, c} la perpendiculaire EG, 4; AK,d; & lesinconnues A1, I |