FIG. 42,

polygones semblables d'une infinité de côtez, dont les diametres font les côtez homologues; il suit que les cercles sont entr'eux comme les, quarrez de leurs diametres, ce que l'on démontre aussi facilement que pour les triangles semblables.

8.LES solides semblables font entr'eux comme les cubes de leurs côtez homologues.

Soient deux Spheres AB, & CD; ayant nommé le 43. diametre AB de la Sphere AB, a ; sa circonference,c; le diametre CD de la Sphere CD, 6; sa circonference, d; la Sphere AB, x ; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer

que x.y

:: a3. 63.

DEMONSTRATION.

bbd

La Sphere AB est égale à aac aa, & la Sphere CD=b

aac
6

bbd

6

이

6

aacy:

donc x
x.y::
bbd; donc bbdx
Mais les cercles étant des polygones semblables, leurs
diametres sont comme leurs circonferences ; c'est pour-
quoi
b::c.d; donc ad
; & partant d;
mettant donc cette valeur de d dans la premiere équa-
3x=a3y; ; donc x. y :: a3.

a

b3cx

=

tion, l'on a- =aacy, ou 63

A

b. C. Q. F. D.

On démontrera la même chose, & de la même ma

niere pour les autres solides semblables.

EXEMPLE IX.

Theorême.

FIG. 44 9. LES triangles ABC, DEF dont les bases BC, EF, & les hauteurs AG, DH font en raison reciproque, sont égaux.

ac

bd

Ayant nomme BC, a; EF, b; AG, c; DH, d; le triangle ABC, * ; & le triangle DEF, y; l'on aura le triangle ABC = = y; donc x. y.

= x, & le triangle DEF =

T=x,

AC

2

bd

2

2

:: ac.bd; donc bdx = acy : Mais (hyp) a. b :: d. c; donc ac=bd; c'est pourquoi la premiere équation bdx = acy devient x = y, ABC = DEF. C. Q. F. D.

On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prismes, les cilindres, les cones, & les piramides dont les bases, & les hauteurs sont en raison reciproque, sont en raison d'égalité.

On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Theorêmes de Geometrie: car les quatre Sections suivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus confiderables des Se. ctions coniques, en fourniront un afssez grand nombre.

:

SECTION IV.

Des Sections du Cone & du Cilindre.

FIG. 45, IX. I. 46,

DEFINITIONS

Oappelle

GENERALES.

N appelle Section Conique, une ligne courbe IDH, qui est la commune Section d'un Plan 47. EDF, & de la superficie d'un Cone ABC, dont A est le fommet; & la base est un cercle dont le diametre est

BC.

2. Le triangle ABC est appellé le triangle par l'axe; parcequ'il est la commune Section du Cone, & d'un Plan qui passe par le sommet A, & par le diametre BC de la base, & que l'axe du Cone, est dans le Plan du même triangle ABC.

SUPPOSITION.

3. ON suppose que le Plan EDF, est perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le Plan du triangle ABC, est perpendiculaire à la base du Cone.

COROLLAIRE.

4. D'où il suit que DG, qui est la commune Section du Plan EDF, & du triangle ABC, est perpendiculaire à EGF, qui est la commune Section du même Plan EDF, & de la base du Cone; & que la même EGF, est perpendiculaire à BC; & par confequent coupée (Fig. 45, & 47 ) par le milieu enG ; d'où l'on conclura aussi que si P'on mene par quelque point Z de la ligne DG,une ligne MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, feront dans un plan parallele à la base du Cone, dont la commune Section avec la superficie du Cone, fera un cercle qui passera par les points M, I, N, H, & dont le diametre sera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu enZ, la ligne IH.

Il suit aussi que le point D, qui est commun à la courbe IDH, & au côté AB du triangle ABC, est plus prés du sommet A dans les suppositions précedentes, que tout autre point de la même Courbe.

DEFINITIONS

PARTICULIERES.

5.L A Section Conique IDH, est nommée parabole, FIG. 45.

lorsque le Plan coupant EDF, est parallele à un des côtez AC du Cone ou du triangle ABC; DG est nommée taxe de la parabole; D, son sommet; DL, l'abciffe, ou la coupée; IL, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée à l'axe.

6. La Section Conique IDH, est appellée, ellipse, F1 c. 46. lorsque le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB, AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'est point parallele à la base du Cone. La ligne Dd est nommée l'axe, ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre; la ligne VKR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'abciffe ou la coupée; LI, ou LH, l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe Dd.

Il peut arriver un cas où la Section est un cercle, quoique le Plan coupant ne foit point parallele à la base du Cone: mais cela ne fait rien à notre dessein.

7. La Section Conique IDH, est appellée hyperbole, F1G.47. lorsque le Plan coupant EDF, coupe aussi la superficie Conique opposée, & y forme une autre hyperbole edf, opposée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & femblable; Dd est nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles opposées; D, &d, le fommet de l'axe Dd; DL, l'abcisse, ou la coupée; LI, ou LH, l'appliquée; ou l'ordonnée; le point K milieu de Dd, le centre.

PROPOSITION. Ι.

Theorême.

F1C. 45. 8. EN supposant les mêmes choses que l'on a supposées dans la Figure où la courbe IDH, eft une parabole; & outre cela, si on mene DO parallele à BC, ou à MN ; fi on prend AP = DO, & qu'on mene PQ parallele à DO, ou à MN. Je dis que DL × PQ=LI2=LH2.

Puisque le Plan coupant EDF est (no. 5.) parallele à AC; AP=DO sera = LN; & ayant nommé les données AO, b; DO, ou AP, ou ZN, c; PQ, p; & les inconnues DL, x; & LI, y.

X

Il faut prouver que px (PQ x DL)=yy (LI2).
DEMONSTRATION.

Les triangles semblables AOD, DLM, donnent

cx

AO (b). OD (c) :: DL(x). LM; Or (n°, 4),

ecx

& par la proprieté du cercle (LMxLN)=(LI2 =yy: mais la ressemblance des triangles AOD, APQ donne b. (AO). c (OD) :; c (AP). p (PQ); donc ce = bp. Mettant donc bp en la place de ce dans la premiere équation, l'on aura px = yy, C. Q. F. D.

C

DEFINITION.

9. La ligne PQ=p, est appellée le parametre de l'axe de la parabole.

4

: