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circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes les perpendiculaires, comme BH font moyennes proportionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on prenne le point B. ·

DEFINITION.

6. LE s lignes droites ou courbes qui renferment, ou fur lefquelles font tous les points qui refolvent un Problême indéterminé,font appellez lieux Geometriques. Ain. fi la demi circonference ABC eft le lieu qui contient tous les points B, d'où l'on peut tirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH,& HC. AVERTISSEMENT.

7. Quoique l'on fe propofe ici de donner la maniere de démontrer les Theorèmes de Geometrie par le moyen de l'Algebre; il ne faut pas entendre cela fi generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez: car il y en a d'Elementaires où Algebre n'a point de prife. On ne peut, par exemple, démontrer par l' Algebre que le quarré de l'hypothenufe d'un trian gle rectangle est égal aux deux quarrez des deux autres côtez, ni que les côtez homologues des triangles femblables font proportionnels. Il en eft de même de plufieurs autres ; & c'eft particulierement de ces deux Theorèmes que l'Algebre a befoin, &par le moyen defquels on vient à bout de tout, comme on verra dans toute l'étendue de cet Ouvrage. Soit qu'il s'agiffe de refoudre un Problème, ou de dénombrer un Theorême de Geometrie par le moyen de l'Algebre, il est toujours neceffaire de trouver des équations & pour ce fujet il faut nommer toutes les lignes connues, & inconnues qui y peuvent fervir, par des lettres de l' Alphabet, avec cette difference que l'on nommera les données ou connues, ou déterminées, ou conftantes par les premieres a, b, c,d, &c. & les inconnues ou indeterminées,ou variables par les dernieres, r,f,t, u, x, y, z.

Et parcequ'il y a fouvent plufieurs chemins pour trouver les équations neceffaires pour la démonftration d'an Theoreme, ou pour la refolution d'un Problème, on pourroit prendre celui qui

fe prefenteroit le premier s'ils conduifoient tous à des équations également fimples, & d'où l'on put tirer des conftructions égale ment élegantes: mais comme l'on arrive quelquefois à des équations tres compofees,en fuivant certaines routes, & que l'on arriveroit à de tres-fimples en en fuivant d'autres ; il s'enfuit que lorfqu'on ne trouve pas les premieres équations aufquelles on eft parvenu par les premieres fuppofitions, à ces fimples, il en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne fe point rebuter: car lorfqu'un Probleme eft fimple de fa nature, on trouve ordinairement des équations fimples pour le refoudre : mais parceque pour trouver des équations fimples, cela dépend particulierement des lignes que l'on nomme par des lettres inconnues, c'est-à-dire, qu'en nommant certaines lignes par des lettres inconnues, on arrive à des équations tres-compofees, au lieu qu'en en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive fouvent à des équations tres-fimples.

8. On ne peut donner de regles précifes pour déterminer parmi les lignes inconnues celles que l'on doit nommer par des lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus fimples, ni pour tirer certaines lignes qui font neceffaires tant pour la démonftration des Theorêmes, que pour la réfolution des Problemes mais l'on peut faire certaines remarques, & établir certains principes qui ne laissent pas d'avoir un grand ufage dans P'un & l'autre cas. On les trouvera ailleurs.

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PRINCIPES GENERAUX Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie.

II.

L

ORSQU'IL S'agit de refoudre un Problême, ou de démontrer un Theorême de Geometrie, on doit premierement bien entendre ce dont il s'agit, c'està-dire l'état de la queftion, & bien remarquer les quali tez des lignes qui doivent former la figure fur laquelle on doit operer: car il y a des lignes données de pofition feulement; d'autres données de grandeur, & de pofition tout ensemble; d'autres données de grandeur, & non de pofition; & d'autres enfin qui ne font données ni de grandeur ni de position.

1. Les lignes données de pofition feulement, font celles dont la fituation est invariable & toûjours la même, mais dont la longueur n'est point déterminée : comme la ligne EFG, qui étant une fois pofée dans une situation perpendiculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre pofition.

Les lignes données de grandeur & de pofition tout enfemble,font celles qui ne peuvent changer de fituation, & dont la longueur eft déterminée, de forte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir: comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois pofé dans une fituation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre pofition.

Les lignes données de grandeur, & qui ne le font point de pofition, font celles dont la grandeur ne peut varier; quoique leur fituation puiffe changer, comme le demi diametre DB, qui demeurent toûjours de même grandeur en quelqu'endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur font auffi appellées lignes connues ou lignes conftantes, & & on les nomme par des lettres connues, a, b, c, d, &c.

Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de pofition, font celles qui en changeant de places, changent auffi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point H s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de position, font auffi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues X, Y, Z, &c,

2. Lorsqu'on veut refoudre un Problême, on le doit confiderer comme déja refolu, & ayant mené les lignes que l'on juge neceffaires, l'on nommera celles qui font connues par des lettres connues, & celles qui font inconnues par des lettres inconnues,& fans faire de diftin ction entre les quantitez connues & inconnues,on exami

nera les qualitez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes;& ces deux expreffions d'une même quantité étant égalées l'une à l'autre, donneront une équation qui refoudra le Problême, qui fera déterminé, si elle ne renferme qu'une feule lettre inconnue.

il

Mais fi elle renferme plufieurs lettres inconnues, faut tâcher par le moyen des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équations que l'on aura employé de lettres inconnues, afin que les faisant évanouir, de la maniere qu'il eft enfeigné dans tous les livres d'Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une feule; cette équation étant reduite, s'il eft neceffaire, à fes plus fimples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d'Algebre, donnera la folution du Problême qui fera encore déterminé.

Si l'on ne peut trouver autant d'équations que l'on a employé de lettres inconnues, de forte qu'il reste au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Problême fera indeterminé, & aura une infinité de folutions. Enfin, fi dans la derniere équation il reftoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues, le Problême feroit encore indeterminé, mais il feroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point.

Il est fouvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il eft déterminé ou indeterminé, auquel cas on fçait, fi ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou fi l'on n'en doit trouver qu'une feule: mais il arrive auffi quelquefois que cela n'eft pas fi facile à distinguer, & c'eft en ce cas qu'il faut tacher de trouver autant d'équations qu'on a employé d'inconnues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Problême.

On n'explique point plus au long ce principe; car tour ce Traité n'en eft que l'application. On fe contentera de faire ici quelques reflexions fur les équations qui ne contiennent qu'une feule, ou deux lettres inconnues,

c'est-à-dire fur les équations déterminées, & fur les indeterminées.

DES EQUATIONS DETERMINE ES.

3. ON fçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines, qu'elle a de dimenfions dans le terme où elle eft le plus élevée, que ces valeurs font vraycs, fauffes, ou imaginaires, on ne dit pas qu'elles foient toutes d'une même efpece dans une même équation : car dans une même équation il y en a quelquefois des trois efpeces, de vrayes, de fauffes, & d'imaginaires.

Les racines vrayes ou pofitives font celles qui font précedées du figne +: comme x = + a:

Les racines fauffes ou negatives font celles qui font précedées du figne- - comme x --a. Les racines fauffes font d'un grand ufage dans la Geometrie, car comme elles font autant réelles que les racines pofitives, elles fervent à déterminer les pofitions des courbes autant que les pofitives, dont elles ne different qu'en ce que les pofitives devant être prifes d'un côté d'un point ou d'une ligne, les fauffes doivent être prises de l'autre, comme on verra dans la fuite.

Les racines imaginaires font celles qui font fous un figne radical avec le figne: comme x=V-ab; & comme la valeur de ces racines ne peut être exprimée, on les regarde comme nulles ou = o ; de forte que x=V-ab. doit être regardée comme x = 0.

Dans toutes les équations où il n'y a que deux termes tous deux pofitifs, l'un connu & l'autre inconnu, fi l'expofant de l'inconnue eft un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une pofitive & l'autre negative; toutes les autres feront imaginaires. Par exemple, de xx = aa, l'on tire x = a, & x=-a; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toûjours xx=aa, puisque -- donne auffi bien que +x+, &

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