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PROPOSITION II.

Theorême.

10. EN
N fuppofant les mèmes chofes que dans la Figure où F 16. 46.
La courbe IDH eft une ellipfe ; & outre cela, fi l'on divife
Dd par le milieu en K, & fi l'on mene SKT parallele à
MN, & VKR parallele à HI, RV, fera lacommune Section
de l'ellipfe, & d'un cercle SRTV, dont le diametre eft ST, &
qui eft coupé dans la fuperficie Conique par un Plan pa-
rallele à la base du Cone, ou au Plan du cercle MINH
puifque HI eft (no. 4) la commune Section de l'ellipfe,&
du cercle MINH. De forte que V&R feront dans la circonfe
rence du cercle SRTV, & dans celle de l'ellipfe. Cela po-
fé, je dis que DL x Ld. LI' :: DK2.KR.
LI2

Ayant nommé les données DK, ou Kd, a; SK, g;
KT,f; KV, ou KR,b; & les indéterminées KL, x;
LI, ou LH,y; DL fera a-x,
x, & dL, a +x.

Il faut démontrer que aa -xx (DL x Ld). yy ( LI2 ) :: aa ( DK 2). bb (KR2).

DEMONSTRATION.

LES triangles femblables dKT, dĽN,& KDS, LDM, donnent dK (a). KT ( f ) :: dL ( a + x). LN = af +fx ̧

a

& KD.(a), KS ( g ) :: ZD ( a − x ) LM=^8—8*; donc par la proprieté du cercle aafg — afgx + afgx — fexx

(LN×LM)=yy (LI), qui fe reduit à

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aafg-fgxx

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=yy:

mais fg=TK × KS ( par la proprieté du cercle) KR'=bb; c'eft pourquoi mettant dans l'équation précedente pour fg fa valeur bb, l'on aura

aabb bbxx

AA

you

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FIG. 47. II. EN fuppofant les mèmes chofes que l'on a fuppofées dans la Figure où la courbe IDH eft une hyperbole, & outre cela, fi l'on divife Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS parallele à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL x Ld. LI2 :: DK2 KR 2.

Ayant nommé les données KD, a; KR, b; KS, gi KT, f; & les indéterminées KL, x ; LI, ou IH,y i LD fera, x -a; & Ld, x+ a.

DE'MONSTRATION.

LES triangles semblables dKT, dLN, & DKS,DLM, donnent,dK ( a ) . KT (f) :: dL (x+a). LN = fx➡af &DK(a).KS(g) :: DL)x—a(. LM; donc

par la proprieté du cercle &fxx-afg (ML x LN)

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=

yy

( LI2). L'on a auffi par la construction g ( KS).b ( KR) :: b. (KR). f ( KT); donc gf bb; c'eft pourquoi fi l'on met dans l'équation précedente, en la place de gf fa valeur bb, l'on aura

bbxx

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aabb

yy, ou xx

aa

aayy, d'où l'on tire xx-aa. yy :: aa, bb. C. Q.F. D.

bb

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit eu cette

Équation 2ax + xx= aayy

bb

DE FINITION,

DEFINITIO N.

12.La ligne VKR double de KR menée par K paralle- F1 G.46, le à IH, eft appellée l'axe conjugué à l'axe Dd.

13. Dans l'ellipfe & dans l'hyperbole, la troisième proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, eft appellée le parametre de celui qui occupe le premier lieu dans la proportion.

14. Suivant cette Définition, il eft aifé de déterminer le parametre de l'axe Dd dans l'ellipfe, & dans l'hyperbole car il n'y a qu'à prendre DP = 2KT ; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en Q, fera le parametre qu'on cherche: car, ayant nommé la ligne PQ, p; les triangles femblables DKS, DP2, donnent a (DK) . g (KS) :: 2f (DP, ou 2KT). p (PQ); donc pa=2fg: mais (n. 11) fg = bb; donc pa—2bb, d'où l'on tire a. b :: 2b.p, ou 2b :: 2b.p, c'est à-dire Dd. RV :: RV. PQ.

2a.

I

15. Puisque ( no. 14 ) a . b :: 2b . p :: b . —p; donc aa.

I

bb:: a. — p2a.p; donc aap =

aa

zabb; donc 66

47.

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; c'est pourquoi, fi l'on met dans les deux équa

aa

tions précedentes ( no. 10, & 11) au lieu de

fa valeur

66

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l'on tire aa—xx, ou xx— aa. yy :: 2a. p, c'est-à-dire,

2

DL × LD. LI1 :: Dd. P.Q.

K

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FIG. 48. 13. L A mème hyperbole IDH, dont l'axe déterminé eft Dd, le centre K, le diametre ou l'axe conjugué RV perpendiculaire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mife fur un Plan. Je dis qu'ayant fait au fommet D, DB, &DE paralleles, & égales à KR, ou KV; les lignes KB, KE menées du centre K par les points B, E, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole, & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini.

DEMONSTRATION.

A Y ANT mené du fommet D, les droites DG, DO paralleles à KB, & à KE; du point I, les droites IM, IP paralleles aux mêmes KE, KB, & prolongé IL de part & d'autre qui rencontre KB & KE en C, & F; & nommé, comme dans la propofition précedente, les données DK,a; DB, ou DĒ, b; KO, ou GD, ou KG, ou OD, qui font toutes égales, c ; & les indeterminées KL, x; LI, ou LH, y; IP ou MK,f; IM, ou PK z. Les triangles femblables KDB, KLC, donnent KD (a). DB (b) :: KZ (x) . LC—bx; donc IC—*—y&IF=b*

KL

a

bx

A

bx

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+y: car puifque (conft. ) DB DE, LC fera =LF; & puifque (n°. 4) LI= LH, IC, fera = HF. De plus, les triangles femblables DBG, ICM, & DEO, IFP donnent, b. (DB). c ( DG) : : -y (IC): z

bx

bx

A

{ IM }, & b ( DE ) . o ( DO ) :: b* + y ( IF ) . ƒ ( IP ),

6

d'où l'on tire ces deux équations bz= bcx cy, & bf

bcx

+cy:mais l'on a par la Propofition précedente xx

ad=

y, par

anyy
bb

ز

c'est pourquoi fi on fait évanouir x,

&

le moyen de ces trois équations, l'on aura celle-ci z = cc, c'est-à-dire, PI × IM= KG × GD qui fait voir quef, ou PI, ou MK croiffant, zou MI diminue; ce qui peut aller à l'infini. Et comme s1⁄2, ou PIX IM, doit toujours être KG × GD; Il fuit que quelque grande que l'on fuppofef, ou PI, ou KM, il faut que MI ait encore quelque longueur; & partant KM ne rencontrera jamais l'hyperbole IDH.C.Q. F.D.

=

DEFINITION.

Les lignes KC, & KF font nommees afymptotes de l'hyperbole.

COROLLAIRE.

IL eft clair que tous les parallelogrammes, comme
KIMP, font égaux entr'eux, & au parallelogramme
KGDO, en quelqu'endroit de l'hyperbole que l'on pren
ne le point I.

14.

PROPOSITION V.

Theorême.

SOIT AB une fuperficie cilindrique coupée parun Plan F1 G. 45. AB qui passe par l'axe du cilindre. Je dis que fi l'on coupe la fuperficie cilindrique par un autre Plan dIDHd perpendiculaire au Plan AB, & incliné à l'axe du cilindre, la commune Section dIDHd de ce Plan, & de la fuperficie cilindrique, fera une ellipfe.

DE'MONSTRATION.

AYANT divifé Dd qui eft la commune Section des Plans AB, & dIDHd par milieu en K, & pris librement un point Z fur la même Dd; fi l'on fuppofe la fuperficie cylindrique coupée par deux Plans paralleles entr'eux, & perpendiculaires à l'axe du cilindre, qui paffent par les points K&L, les communes Sections SVTR, MHNI

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