PROPOSITION II. Theorême. 10. EN supposant les mèmes choses que dans la Figure où FIG. 46. la courbe IDH est une ellipse ; & outre cela, si l'on divise Dd par le milieu en K, & si l'on mene SKT parallele à MN, & VKR parallele à HI; RV, fera lacommune Section de l'ellipse, & d'un cercle SRTV, dont le diametre eft ST, & qui est coupé dans la superficie Conique par un Plan parallele à la base du Cone, ou au Plan du cercle MINH, puisque HI est (no. 4) la commune Section de l'ellipfe, & du cercle MINH. De forte que V & R feront dans la circonfe. rence du cercle SRTV, & dans celle de l'ellipfe. Cela pofé, je dis que DL × Ld . LI2 :: DK 2. KR 2. ( Ayant nommé les données DK, ou Kd, a; SK,g; KT, f; KV, ou KR, b; & les indéterminées KZ, x; LI, ou LH, y; DL sera a-x, & dL, a + x. Il faut démontrer que aa (LI2) :: aa (DK2). 66 (KR2). xx (DL x Ld). yy DE'MONSTRATION. Les triangles semblables dKT, dLN, & KDS, LDM, donnent dK (a). KT (f) :: dL (a+x).LN= af +fx a x & KD (a).KS(g) :: LD ( a - x) LM18-8*; donc par la proprieté du cercle #afg-afgx x+afgx-fxxx aa aa =yy: (LN×LM)=yy (LI2), qui se reduit à "afs-fgxx cedente pour fg sa valeur bb, l'on aura aabb aa bbxx =you d'où l'on tire aa - xx. yy :: aa.bb. Sil'on avoit nommé DL, x; l'on auroit trouvé cette équation 2ax - xx = aayy PROPOSITION III. Theorême. FIG. 47. 11. EN supposant les mèmes choses que l'on a supposées dans la Figure où la courbe IDH est une hyperbole, & outre cela, si l'on divise Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS parallele à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL × Ld. LI2 :: DK2 KR2. Ayant nommé les données KD, a; KR, b;KS,g; KT,f; & les indéterminées KL,x; ,x; LI, ou IH, yi LD sera, x – a; & Ld, x + a. DEMONSTRATION. LES triangles semblables dKT, dLN, & DKS, DLM, donnent,dK (a). KT (f) :: dL (x+a). LN=fx+af, a &DK(a).KS(g) :: DL)x-a(.LM=*=*%; donc Aa par la proprieté du cercle &fxx-Nafs (ML × LN) = yy (LI2). L'on a aussi par la constructiong (KS).b (KR) :: b.(KR) .f (KT); donc gf=bb; c'est pourquoi fi l'on met dans l'équation précedente, en la place de gf sa valeur bb, l'on aura bbxx - aabb aa =yy, ou xx - aa =, d'où l'on tire xx- aa. yy :: aa. bb. C. Q. F. D. bb Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit eu cetre équation 2ax + xx=yy, DEFINITION. DEFINITION. 12.L A ligne VKR double de KR menée par K paralle- F 1 c. 46, le à IH, est appellée l'axe conjugué à l'axe Dd. 13. Dans l'ellipfe & dans l'hyperbole, la troisieme proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, est appellée le parametre de celui qui occupe le premier lieu dans la proportion. 14. Suivant cette Définition, il est aisé de déterminer le parametre de l'axe Dd dans l'ellipfe, & dans l'hyperbole : car il n'y a qu'à prendre DIP = 2KT ; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en Q, sera le parametre qu'on cherche: car, ayant nomme la ligne PQ, p; les triangles femblables DKS, DP2, donnent a (DK) . g (KS) :: 2f (DP, ou 2KT). p (PQ); donc pa= 2fg: mais (no. 11) fg=bb; donc pa=2bb, d'où l'on tire a. b :: 26.p, ou 2a. 26 :: 26.p, c'est à-dire Dd. RV :: RV . PQ. 15. Puisque (no. 14) a. b :: 26. p :: 6. I I 2 p; doncaa. bb :: a. p :: 24. p; donc aap = 2abb ; donc 24 2 ز aa bb ; c'est pourquoi, si l'on met dans les deux équa aa tions précedentes (no. 10, & 11) au lieu de sa valeur قاط 47. K PROPOSITION IV. Theoreme. FIG. 48. 13. L A mème hyperbole IDH, dont l'axe déterminé eft Dd, le centre K, le diametre ou l'axe conjugué RV perpendiculaire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mise sur un Plan. Je dis qu'ayant fait au fommet D, DB, &DE paralleles, & égales à KR, on KV; les lignes KB, KE menées du centre K par les points B, E, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole, & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini. DEMONSTRATION. AYANT mené du fommet D, les droites DG, DO paralleles à KB, & à KE; du point I, les droites IM, IP paralleles aux mêmes KE, KB, & prolongé IL de part & d'autre qui rencontre KB & KE en C, & F; & nommé, comme dans la proposition précedente, les données DK, a; DB, ou DE, b; KO, ou GD, ou KG, ou OD, qui font toutes égales, c; & les indeterminées KL, x; LI, ou LH, y; IP ou MK, S; IM, ou PK 2. Les triangles semblables KDB, KLC, donnent KD (a). bx a bx bx a DB (b) :: KL (x). LC; donc IC=y& IF= +y: car puisque (conft.) DB = DE, LC sera = LF; & puisque (n°. 4) LI=LH, IC, sera = HF. De plus, les triangles semblables DBG, ICM, & DEO, C bx IFP donnent, 6. (DB). (DG) :: - (IC) a (IM), & b (DE). (DO)::+y(IF).[(IP), bcx d'où l'on tire ces deux équations bz=-cy, & bf bcx A + cy: mais l'on a par la Proposition précedente xx 1 -aa aayy ; c'est pourquoi si on fait évanouir x, & y, par le moyen de ces trois équations, l'on aura celle-ci sz = cc, c'est-à-dire, PI × IM = KG × GD, qui fait voir quef, ou PI, ou MK croiffant, zou MI diminue; ce qui peut aller à l'infini. Et commez, ou PIXIM, doit toujours être = KG × GD; ll fuit que quelque grande que l'on suppose s, ou PI, ou KM, il faut que MI ait encore quelque longueur ; & partant KM ne rencontrera jamais l'hyperbole IDH. C. Q. F. D. DEFINITION. Les lignes KC, & KF font nommees asymptotes de t'hyperbole. COROLLAIRE. IL est clair que tous les parallelogrammes, comme PROPOSITION V. Theorême. 14. SO IT AB une fuperficie cilindrique coupée parun Plan FIG. 49. AB qui passe par l'axe du cilindre. Je dis que fi l'on coupela fuperficie cilindrique par un autre Plan dIDHd perpendiculaire au Plan AB, & incliné à l'axe du cilindre, la commune Section dIDHd de ce Plan, & de la superficie cilindrique, fera une ellipse. DEMONSTRATION. AYANT divise Dd qui est la commune Section des Plans AB, & dIDHd par milieu en K, & pris librement un point Z sur la même Dd; fi l'on suppose la fuperficie cylindrique coupée par deux Plans paralleles entr'eux, & perpendiculaires à l'axe du cilindre, qui passent par les points K & L, les communes Sections SVTR, MHNI |