de ces deux Plans, avec la fuperficie cilindrique, feront deux cercles dont les communes Sections VKR, HLI avec le Plan dIDHd, feront perpendiculaires à Dd, à ST, & à MN; & dont les communes Sections ST, MN, avec le Plan AB, font les diametres; d'où il fuit que KV = KR,& LH=LI, & que le point K qui divife Dd par le milieu, divife de même ST; & partant le point K eft le centre du cercle SVT.

Ayant donc nommé les données KD, ou Kd, a; SK, ou KT, ou KR, ou KV,b; & les indéterminées KL, x ; LI, y ; DL fera a+x, & Ld a- x.

Les triangles femblables DKS, DLM donnent DK (a).KS (b) :: DL ( a +x). LM= +Pareille

ab

a

ment les triangles femblables dKT, dLN donnent dK ( a). KT ( b ) :: dL ( a— x ) . LN — ab — bx

a

.Mais

à caufe du cercle MIN, ML × LN = LI2, c'est-à

dire en termes Algebriques

aayy

bb

; & comme cette équation eft la même que la précedente (no. 10 ). Il fuit que la courbe dIDHd, une ellipfe. C. 2.F. D.

eft

46,

47

18. S 1 les bafes des fuperficies coniques ; & par consequent F 10. 45; les courbes IMH, qui font les communes Sections des mimes fuperficies coniques par des Plans paralleles aux bafes, ont cette proprieté qu'une puiffance quelconque de leurs appliquées LH, ou LI, foit égale au produit de deux puissances de LM, & LN, telles à l'expola fomme de leurs expofans, foit que fant de la puiffance de LI, c'est-à-dire par exemple, que LMx LN 2, ou LM 2× LN2. Je dis que Sections coniques IDH, telles que nous les avons définies (n°.5,6, & 7) font de même genre que les courbes IMH. ,&7)

LI

ذا

x

=

les

En donnant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a =m.p & q > données ( no. 8, 10, & 11); & faifant p+q: fignifient tels nombres qu'on voudra entiers ou rompus. Soit premierement le Plan coupant EDF parallèle à AC. Il faut prouver que la courbe IDH, eft une parabole du même genre que la courbe IMH.

DEMONSTRATION.

L'on trouvera, comme on a fait ( no. 8) LM = 7;

P CPxP
bp

donc LM = LN = DO a été nommée c ;

PxP

donc

LN1=c1: mais par la proprieté de la courbe IMH,
LM3 × LNa=LITM, c'est-à-dire, en termes Algebri-
ques,
=yTM, qui est une équation à une parabole
du même genre que la courbe IMH, puifque l'incon-
nue y, dont l'expofant eft plus grand que celui de x,
eft élevée à la même puiffance que LI—y,
quation à la courbe IMH. C. Q. F. D.

bp

dans l'é

Ce fera la même Démonstration pour l'ellipfe & pour

Kij

l'hyperbole, & pour la Section du cilindre.

M' De la Hire pui eft le feul que je fçache qui a parlé de ces courbes, les appelle celles du fecond, troifiéme, quatrième, cinquième genre, &c.

בון

Si dans l'équation précedente LI LM3× LN,

3

=

on fait p = 2, & q = 1, oup=1,&q=2; m =p+q fera 3, & l'équation deviendra LI LM2 × LN, ou LI3 LM × LN2, & la courbe IMH, fera un cercle du fecond genre.

Dans la même fuppofition de p=2, & q=1, Pé

même degré que celle de la courbe IMH, & qui appartient par confequent à une parabole du second gen re, qu'on appelle feconde parabole cubique.

Si p=1, & q = 2, l'équation

b

Яср x xp

bp

=1

de

viendra =y3, qui fe rapporte encore à une parabole du fecond genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en eft ainfi des autres.

REMARQUE.

16. ON détermineroit avec la même facilité la nature & le genre de la courbe IDH, dans le Cone, & dans le Cilindre ; fi la courbe IMH, dont le Plan eft parallele à la bafe BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Et en general, la nature de la courbe IMH étant donnée, on déterminera aifément la nature de la courbe IDH; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puiffe confiderer comme la Section d'une efpece de Cone ou de Cilindre, & déterminer par fon moyen la nature de la courIMH parallele à la base de ce Cone, & de ce Cilindre; ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puiffe fuppofer être la base d'uu Cone, ou d'un Cilindre, &

déterminer par fon moyen la nature des Sections de ce Cone,& de ce Cilindre.De maniere qu'on peut avoir des Sections coniques d'une infinité de genres, & de plufieurs efpeces dans chaque genre. Or comme les genres les plus compofez renferment un plus grand nombre de courbes que les plus fimples, il y aura d'autant plus d'efpeces de Sections coniques dans chaque genre, qu'il fera plus compofé.

On s'eft contenté de démontrer dans le Cone, la principale proprieté des Sections coniques du premier genre, attendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections fuivantes, toutes les proprietez neceffaires pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie, en les décrivant par des points trouvez fur des Plans. On ne les a même confiderées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur origine & leur nom; & pour faire voir que celles qu'on décrit fur des Plans, font précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone, & qu'on peut par confequent leur donner les mêmes noms.

SECTION V.

Où l'on démontre les principales proprietez de la parabole, décrite par des points trouvez für un Plan.

PROPOSITION I.

Theorême.

FIG. SO. A & F fur cette ligne, étant donnez de pofition U z

NE ligne droite DFP, & deux points fixes D,

fur un Plan. Je dis que fi l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP; & fi du centre F, & du rayon DP, l'on décrit un cercle; il coupera la perpendiculaire MPm, en deax points M&m, qui feront à la parabole.

DEMONSTRATION.

IL eft clair qu'ayant divifé DF par le milieu en A, le
cercle décrit du centre F, & du rayon DA, touchera
en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne
rencontrera point celles qui feroient menées au - def
fus de A par rapport à F: mais qu'il coupera en deux
points toutes celles qui feront menées au - deffous de
A, comme MPm ; d'où il fuit que la courbe qui paf-
fe
par les points M, m trouvez, comme on vient de
dire, paffe auffi par le point A.

Ayant mené FM, & nommé les données, ou conftan.
tes AF, ou AD, a; & les indéterminées, ou variables
AP, x ; PM, y; FP sera x—a, ou a—x ; & FM, ou
DP, x+a.

Le triangle rectangle FPM donne xx—2ax + aa✦ yy—aa + 2ax + xx,qui se réduit à 4ax=yy, ou (en faifant