fant 44=p) px =yy. Or comme cette équation eft la même que celle de l'article 9. n°. 8; il fuit que la courbe MAm, eft une parabole, dont le parametre est p 41=4AF=2FD. C. Q. F. D.

1.I Left évident que 2FD. PM :: PM. AP : car l'équation 4ax=yy, étant réduite en analogie, donne 44.

yy. x.

COROLLAIRE II.

2.Ix eft clair que fi l'on mene par D la ligne ED parallele à PM, & par les points M,m qui font communs à la parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites ME, me paralleles à PD, elles feront égales entr'elles, à PD, & à FM, & que les parties PM, Pm de la perpendiculaire MPm, feront auffi égales.

DEFINITIONS.

3. La ligne AP eft nommée l'axe de la parabole; A, le fommet de l'axe, ou de la parabole; PM, ou Pm l'appliquée, ou l'ordonnée ; AP, l'abciffe ou la coupée ; Fj le foyer; D, le point generateur; Ee, la ligne generatrice; AB, quadruple de AF, ou de AD, le parametre

de l'axe.

COROLLAIRE III.

4. L'o N voit par l'équation précedente 4ax =yy que x croiffant y croît auffi, & qu'ainfi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de fon axe à mesure que le point Ps'éloigne du fommet A, & que cela peut aller l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

COROLLAIRE IV.

5.D'où il fuit que les lignes comme EM menées paralleles à AP passent au dedans de la parabole étant prolongées vers R, & ne la rencontre qu'en un seul point M.

L

COROLLAIRE V.

6. SI dans l'équation 44x=yy, l'on fait x= a,le point P tombera en F, & l'on aura 4aa=yy; donc 2a=y; c'eft-à-dire que l'appliquée FO qui part du foyer eft éga. le à la moitié du parametre; & fi l'on fait x = 4a, l'on aura 16aa = =yy, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP, PM feront chacune égale au parametre.

L

COROLLAIRE. VI.

&

7. Il est manifeste que la quantité conftante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimenfion dans un des membres de l'équation, eft l'expreffion du parametre de l'axe de la parabole, lorfque le quarré de l'autre indéterminée est seul dans l'autre membre: par exemple dans cette équation *** = yy, a, eft l'expreffion du parametre de l'axe de la parabo le dont l'abciffe est x; & l'appliquée y.

PROPOSITION IL

Theorême.

aax

8. LES quarrez des ordonnées PM, QN font entr'eux comme les abciffes correfpondantes AP, AQ·

Ayant nommé comme dans la Propofition précedente AB, 4a; AP, x; PM, y ; & AQ, S ; QN z

Il faut prouver que PM2 (yy). QN2 ( z ) :: AP ( x ) : AQS).

L'ONA

D'EMONSTRATION.

O Na par la Propofition précedente 4ax =yy, & 4af=zz; donc yy. 22: 4ax. 4af :: * . S. C. Q. F. D.

9.

LES mèmes chofes étant toujours supposées. Je dis que, fi d'un point quelconque m pris fur la parabole, on mene me parallele à PA, qui rencontrera la generatrice en e,& par le fommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em en C; le cercle mle décrit fur le diametre me coupar le milieu en I. pera AC

Ayant nommé la donnée AD, ou eC, a ; & les indéterminées AP, ou Cm, x ; Pm, ou AC, y;

I

& CI,f.

Il faut prouver que C1 (ƒ) = — AĆ
AC ( = 1).

DEMONSTRATION.

L'ON a par

la premiere propofition 44x=yy, & par la proprieté du cercle ax (eC × Cm ) = ƒƒ (CI 2 ),

I

ou 4ax=4ss; donc y=2f, ou y=f.C. Q. F.D.

2

10.EN fuppofant encore les mèmes chofes, fi l'on prend AG, menée par le fommet A parallele aux appliquées PM, pour l'axe de la parabole, & GM parallele à AP, pour l'appliquée, en nommant AG ou PM,x; GM, ou AP, y; &le parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF x GM AG2.

DE'MONSTRATIO N.

=

L'ON a par la premiere Propofition 44y=xx. C. Q.

F.D.

L'on n'a mis ici cette Propofition que pour faire voir qu'il eft indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abciffe, & l'autre pour l'ap

pliquée; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques, où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3 n°. 16) le parallelogramme des coordonnées.

YY, étant

UNE équation à la parabole, bx donnée, décrire la parabole, lorfque les coordonnées font perpendiculaires l'une à l'autre.

b, étant (n°. 7) le parametre ; x, l'abciffe ; & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il eft démontré dans la premiere Propofition.

Soit A le commencement dex, qui va vers P ; & dey qui va vers B, ayant pris AB=b, & prolongé AP du côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à ÷ 6 b

4

=AB, & l'on décrira une parabole AM par la premiere Propofition qui fatisfera au Problême, & dont A fera le fommet, F le foyer, & D le point genera

teur.

AYAN

DEMONSTRATIO N.

Y AN T mené une ordonnée quelconque PM; AF étant, — b; AP, × ; PM, y ; FP sera, x— ou

& FM=PD ( no. 2 }, x+b. Et le trian

= b − x ;

-x; & FM

gle rectangle FPM donnera xx→→ bx +66

= xx

— — bx → → bb + yy qui se reduit à bx=yy. C. Q.F.D.

12.

S

16

REMARQUE

I l'on avoit nommé (Prop. 1) DP, x; & DF, a ; l'on auroit trouvé zax aayy; & fi l'on avoit nom

mé FP , x; & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax+aa

=yy. Ce qui fait voir que lorsqu'une équation à la parabole a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au fommet de l'axe.

PROPOSITION VI

Problême.

XI. UN E parabole AM, dont l'axe eft AP, le fommet FIG. S1. A, le foyer F, le point generateur D, & la ligne generatrice EDH, étant donnée. On propose de mener d'un point quelconque M, donné fur la parabole, la tangente MT. Ayant mené par le point donné Mla droite MH paralle à l'axe AP, & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point Mpar le point O milieu de FH, fera la tangente cherchée.

DEMONSTRATION.

per

PUISQUE (Art. 10. n°. 2. } MF=MH, & que FH eft coupée par le milieu en O; la ligne MO eft pendiculaire à FH; c'est pourquoi fi l'on prend fur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque G, d'où l'on mene GF, &GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH fera ifofcele: mais à cause de l'angle droit GIH, GH furpafle GI ; c'est pourquoi GF furpaffe auffi GI; & par confequent le point G eft hors de la parabole, & partant MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la touche. C. Q. F. D.

On peut ajouter pour confirmer cette Démonstration, que fi d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole, on mene RF du point R au foyer, & RH parallele à AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H, la ligne RHfurpaffera toujours RF: car ayant mené MF, elle fera (Art. 10. n°. 2. ) = MH: mais RM → MF surpassent RF ; & partant RH furpaffe RF; c'eft pourquoi puifque GF furpaffe GI, le le point G eft hors de la parabole. On ne peut pas dire que le