point G foit fur la parabole: car GF(=GH) seroit=GI, COROLLAIRE I. 1. IL eft clair que MO prolongée rencontre l'axe AP auffi prolongée en 7 : car l'angle FOT étant droit, l'angle OFT fera aigu. 2. COROLLAIRE II. Si l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de Mvers S; l'angle RMS sera égal à l'angle OMF OMH. 3. COROLLAIRE III, par D'où il fuit les loix de la Catoptrique que fi le foyer F étoit un point lumineux, les point lumineux, les rayons reflechis à la rencontre de la parabole feroient paralleles à l'axe. Ou ce qui eft la même chofe,les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, fe reAlechiffant à la rencontre de la parabole, leurs réflechiş pafferoient tous au foyer F. PROPOSITION VII. Theorême. 4. EN N fuppofant la même chose que dans la Propofition précedente. Je dis que, fi l'on mene par le point touchant M, la droite MQ_parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en Q, la partie de l'axe PQ, comprise entre le point Q, & Pordonnée PM qui part du point M, fera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole. DEMONSTRATIO N. A Caufe des paralleles HF, MQ & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF sont semblables & égaux ; c'eft pourquoi PQ-DF=( Prop. 1.) à la moitié du parametre de l'axe. 5. DEFINITIO N. La ligne PT eft nommée foutangente, MQ perpendiculaire; & PQ, fonperpendiculaire, ou founormale. PROPOSITION VIII. Theorême. 6. LES chofes demeurant dans le mème état que dans la Propofition precedente. Je dis que la foutangente PT eft double de l'abfciffe AP, comprise entre le fommet A & lordonnée PM qui part du point touchant M. Ayant nommé comme dans la premiere Propofition les données AF, ou AD; a ; PQ (no. 5. ) za ; & les variables AP, x ; PM,y; PT,t. Il faut prouver que t = 2x. L'ANGL DE'MONSTRATION, ANGLE FOT étant (Prop. 6) droit, l'angle QMT (no. 4) fera auffi droit, c'eft pourquoi 2a (QP). y ( PM ) :: y . t (PT); donc 2at=yy: Mais (Prop. 1) 4ax=yy; donc 2at=4ax; & partant = 2x. Q. F. D. t C. 7. Cette Propofition fournit un moyen aisé de mener une tangente à la parabole; car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait ATAP,la ligne MT fera la tangente cherchée. PROPOSITION IX. Theorême. 8. UNE Parabole AM dont AP eft l'axes A, le fom. met ; F, le foyer ; D, le point generateur; DE, la ligne generatrice. Si par un point quelconque M pris fur la parabole, on mene (no. 7) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la ligne LG parallèle à la tangente MT. Je dis que la ligne MR menée par le point touchant M parallele à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O. Ayant mené par les points Z, M, 0, & G. Les lignes BLI qui rencontre MR prolongée en 1, MP, OC, FIG. 52. & GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF; ou AD, a; le parametre de l'axe fera (Art. 10) 4a =4AF; AP,x; PM, ou BI, ou SR,y; AC, m; BC, ou 10,f; CS, ou OR, z; AB fera, m-s; AS, m+z; CP, ou OM, mx; & PT ( n° 6), 2x. Il faut prouver que OG=OL, ou ce qui revient au même OR=01, ous=2; DEMONSTRATION. LES triangles femblables (Conft )TPM,ORG, OIL, donnent les deux Analogies fuivantes. TP(2x). PM, (y) :: OR(z). RG yz, & 2x او TP ( 2x) · PM ( y ) :: 01 (f). 11=1; donc SG . 2x mais (Art. 1o no 8) x ( AP ), m+z(AS) :: Yy ( PM2). yy +2yYz+YYZZ (SG2). & x (AP) . m — (( AB) :: yy ( PM2 ) . yy — 2yy+vvf( BL2), d'où l'on tire ces deux équations 2.x *** 'A, myyyyz=xyy + 2xyyz + xyyzz, & B. myyyyf=xyy — 2xyyf+xyy, & ôtant le pre mier membre de la feconde équation B du premier membre de la premiere A, & le fecond de la feconde du fecond de la premiere, l'on a yyz+yys=2xyyz+ 2xy y f 2x + xyyzz — xvyss, d'où l'on l'on tire z=f, ou OR — 4xx OI; donc OLOG. C. Q. F. D. Il peut arriver differens cas: car le point Os'éloignant de M, le point L tombera en A, ou de l'autre côté de A par rapport à M: mais l'on prouvera toujours de la la même maniere que z=f,OGOL; c'est pourquoi la Propofition eft generalement vrayc. DEFINITION S. 9. La ligne MR parallele à l'axe AP est appellée diametre, parcequ'elle coupe toutes les GL par le milieu en O; le point M, le fommet du diametre MR; MO, l'abfciffe, ou coupée ; OL, ou OG, l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre. PROPOSITION X. Theorême. 10.E N fuppofant les mêmes chofes que dans la Propofition precedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou OG au diametre MR, eft égal au rectangle de l'abfciffe MO par 4MF, ou (Art. 10. n°. 2. ), ayant proLongé OM en H, par 4MH. Ayant nommé l'abscisse MO, t; l'ordonnée OZ, of OG, u; MF, ou MH,b; & les autres lignes comme dans la Propofition precedente. Il faut prouver que 4bt=uu, (4MF × M0=0G2). Si l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux équations A & B de la Propofition precedente, aprés avoir mis en la place de /; puifque (Prop. preced.) =/; l'on aura zmyy=2xyy+ zxyyzz, 4xx ou 24mx — 4xx, ou 24tx, en mettant t pour m—x=PC=MO: mais le triangle rectangle ORG, ou OIL donne zz (OR2 ) + (RG2. Prop. preced.) 4xx =uu ( OG2, ou OL2), qui devient 4tx + 4atu« en M FIG. $3 donc en substituant b en la place de x→ a dans l'équation precedente, elle deviendra 4bt uu, ou 4MF × MOOG2. C. Q. F. D. II. D E F IN IT Ι Ο Ν. La ligne égale à 4b = 4MF=4MH est nommée le parametre du diametre MO. PROPOSITION XL Problême. 12.UN E équation à la parabole (ax=yy) dont les coordonnées x & y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole. Soit M le fommet du diametre MO, dont le parametre eft a, & l'origine des variables x, qui va vers O, & y qui va vers K en faifant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation eft ax =ÿy. I Ayant prolongé OM & pris MH= a= (Prop. preced.) au quart du parametre'du diametre MO, on menera par la droite HE perpendiculaire à HO, qui fera (Prop. preced. ) la ligne generatrice; & ayant fait l'angle KMF= l'angle KMH, pris MF=MH & mené par F la ligne FD parallele a MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Propofition precedente, & par la fixième, F fera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur, & A milieu de FD le fommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Propofition. DEMONSTRATION. ELLE eft claire par la Propofition precedente, & par la fixiéme. |