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en general de xP=a? (p.signifie un nombre pair quęlconque ) l'on tire x=+a: ce qui se prouve comme on vient de faire, en éleyant l'un & l'autre membre à la puissance paire p; car l'on aura toûjours xP=+ a P.

Si l'un des termes est positif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue seront imaginaires : car on n'aura jamais le signe de - aprés avoir élevé une quantité négative à une puissance paire: par exemple—a élevé à une puissance paire p donnera toujours +al, & jamais

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3

a & non

Si l'exposant de l'inconnue est un nombre impair , l'inconnue n'aura qu'une racine réelle qui est positive, lorfque les deux termes des équations sont positifs; negative lorsqu'un d'eux est negatif, toutes ses autres racines sont imaginaires : par exemple, de x'=a', on tire x=a, & non pas x=-a, & de x}=

on tire x=pas x=a ; car le cube d'une grandeur positive est toûjours positif, & celui d'une quantité negative est toûjours negatif. Et engeneral de x !=+a9 (9 signifie un nombre impair) on tire x=+a; de même,de xi=-a? on tire x=-a:car + a élevé à une puissance impaire q donne + a9 &- a élevé à une puissance impaire qdonne toujours -a!

On fera les mêmes raisonnemens sur les équations composées : par exemple xx= aa + bb donne x=+ vaa+bb, xx=aa-bb donne x=+V aa-bb: mais en ce cas fi b furpasse a, les deux valeurs de x font imaginaires. xx=+ax Fibb donne x=+ayaa #bb:car en transposant l'on a xx Fax= 366 ; & ajoûtantan de part & d'autre pour rendre le premier membre quarré, l'on aura xx*ax+xa=-aa Ibb; donc en extrayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a xI #VLaa #66, ou*=+_+Yaa #66. Il en est

ainsi

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ainsi des autres. Mais il faut remarquer que si dans ce dernier exemple, & dans les semblables, bb a le signe de –, & que b furpasse a, la valeur de x sera imaginaire ; car puisque la quantité ?aa-bb qui cst fous

4

comme xs

ab

le signe radical, est alors negative Y--aa-lb sera une quantité imaginaire ; & par consequent aust+a+

staabb: car une quantité imaginaire étant combinée de quelque maniere que ce soit avec une quantité réelle , rend le tout imaginaire.

4. On connoît la nature d'un Problême déterminé par le plus haut degre, ou ce qui est la même chose , par la plus haute puissance de l'inconnue, qui se trouve dans l'équation qui sert à le résoudre, en supposant que cette équation soit réduite à son expression la plus simple. De sorte que lorsqu'en resolvant un Problême, on vient à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimension:

qui est une équation du premier degré, le Problême est appellé simple.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux dimensions : comme xx=ax+bb, qui est une équation du second degré, le Problême est nommé plan.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois ou quatre dimensions, comme x' =aab, ou xt=a'b, qui font des équations du troisiéme & du quatrieme degré, le Problême est nommé solide.

Lorsqu'on vient à une équation où l'inconnue estéle. vée au-delà du quatrième degré, le Problême est nommé lineaire,

5. Quand une équation déterminée a tous ses termes, le nombre en est plus grand de l'unité, que l'exposant de la plus haute puissance de la lettre inconnue qu'elle

B

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. *

renferme. Ainsi une équation du second degré ne peut avoir que trois termes ; une équation du troisiéme degré, n'en peut avoir que quatre ; une du quatrième, cinq; & ainsi des autres. Mais il y manque souvent quelqu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plusieurs , & quelquefois ils y manquent tous.

Le premier terme d'une équation , est celui où l'inconnue est élevée à une puislance plus haute que

dans tout autre terme. Le second, est celui où elle est moins élevée d'une dimension. Le troisiéme, celui où elle est moins élevée de deux dimensions ; & ainsi de suite. Le dernier, est celui où elle ne se trouve point du tout.

Mais il faut remarquer qu'il se rencontre souvent dans une équation des termes complexes , ou composez de plusieurs quantitez Algebriques, jointes ensemble ou par – ,qui sont ceux où l'inconnue se trouve eleyée à la même puissance , ou bien ceux où elle ne se trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx —bxx+ cxx, ou abb— bcc+d', ne doivent être regardées que comme un seul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équation seul dans le premier membre, & tous les autres dans le second, selon leur ordre; ou bien on les égale tous à zero, en les écrivans tous dans le premier membre de l'équation , selon leur ordre; & en écrivant o seul dans le deuxiéme , en observant que le premier soit toujours simple , & délivré de toute quantité connue , comme on voit dans l'équation suivante.

par +

و

xi +6xx - abx + a 3.

- cxx + bcx — aab=0.
+dxx

+ bcc.

Des EQUATIONS, IN DE'TERMIN E'E s.

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E s éq:iations où il se rencontre deux lettres inconnues, qu'on appelle ausi équations locales, servent

à construire les Problêmes indéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une servent à construire les Problêmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues; en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre. C'est pourquoi on est obligé d'assigner à l'une des deux, une valeur arbitraire ; & la regardant ensuite comme donnée , on pourra connoitre la valeur de l'autre.

Et comme on peut assigner à la même inconnue une infinité de valeurs l'une aprés l'autre , l'autre inconnue en pourra aussi avoir une infinité. Mais en donnant ainsi differentes valeurs à une des inconnues d'une équation , on doit , à chaque fois, regarder cette équation commé une équation déterminée ; & par consequent lui attribuer tout ce qu'on a dir dans l'Article précedent des équations déterminées. En effet,resoudre, ou plutôt construire un Problême indéterminé, c'est construire une infinité de fois un Problême déterminé.

I.

REMARQUE Les valeurs arbitraires que l'on assigne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée , doivent souvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et si elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue , seront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x=b-y, toutes les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée b, autrement celles de x seroient negatives; ce qui est évident. Si l'on fait y = 0, l'on aura x=b; & fi l'on fait y=b, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x=b-b=0. Dans cette équation xx=a.1-yy , les valeurs arbitraires

que
l'on

peut donner à l'inconnue y,ne doivent point exceder la

grandeur donnée a: car autrement les valeurs de x seroient imaginaires, puisque tout le second membre de l'équation seroit negatif. Si l'on fait y=a, l'on aura

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2.

xx=aa-aa=0.& fi l'on faisoit y=0, l'on auroit xx=da; donc x= + a. Mais dans cette équation ax=by,on peut donner telle valeur

que

l'on voudra à l'inconnue y: car x aura toujours une valeur positive , à moins que l'on ne face y=0, auquel cas l'on aura axr, ou x=0

=0;=o. THE ORE M E. Sil

I l'on alligne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, elles ne sont multipliées ni par elles - mèmes , ni entrelles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre inconnue , seront dans une ligne droite.

DE'MONSTRATION.
Sort

011 l'équation ay=bx, en la reduisant en Analogie l'on a a.b:: x. y;soit presentement une ligne droite AH,

dont le point A loit fixe; & ayant pris sur AH l'intervalFIG. 3. le AB égal à la ligne donnéea , mené par le point B,

la ligne BC égale à la ligne donnéeb, qui fasse avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AC indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris sur AH un point quelconque D, mené DE parallele à BC; & nommé AD, x; & DE, Y; l'on aura toujours a, b :: x.y, en quelqu'endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D , ou ce qui est la même chose, quelque grandeur arbitraire que l'on assigne à l'inconnue x, celle dey sera toujours déterminée par la ligne AG. De forte quc la ligne AG est lieu qui renferme tous les points qui satisferont au Problême, qui doit être resolu par l'équation proposée ay=bx C. Q. F. D.

COROLLAIR E. 3. S 1 l'équation proposéc étoit déterminée, comme ay =bc, ce feroit toujours la même chose, excepté que la

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