:

こ

:

en general de x = a2 (p. fignifie un nombre pair quelconque) l'on tire x = + a : ce qui se prouve comme on vient de faire, en élevant l'un & l'autre membre à la puif sance pairep; car l'on aura toûjours x = + a P.

Si l'un des termes est positif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue feront imaginaires: car on n'aura jamais le figne de - aprés avoir élevé une quantité négative à une puissance paire: par exemple -a élevé à une puissance pairep donnera toujours + a, & jamais

-aP.

Si l'exposant de l'inconnue est un nombre impair, l'inconnue n'aura qu'une racine réelle qui est positive, lorfque les deux termes des équations sont positifs; negative lorsqu'un d'eux est negatif, toutes ses autres racines font imaginaires: par exemple, on tire x=a, &

x=

non pas pas pasxa

a, &

de x=a',

dex=-a

3

, on tire x=-a & non ; car le cube d'une grandeur positive est toûjours positif, & celui d'une quantité negative est toûjours negatif. Et en general de x = +aq (q fignifie un =+a; de même,de x १-१ élevé à une puissance impaire q

nombre impair) on tire x==

on tire x=+a

a: car a

donne + a: & - a élevé à une puissance impaire q donne toujours -aq.

On fera les mêmes raisonnemens sur les équations composées : par exemple xx = aa + bb donne x =+ Vaa+bb, xx=aa-bb donne x =±Vaa-bb: mais en ce cas fi b furpasse a, les deux valeurs de x font imaginaires. xx=ax+bb donne x=+=+=a_v_aa+bb:car

2

I

4

en transposant l'ona xxax=bb; & ajoûtantaa

4

de part & d'autre pour rendre le premier membre quar

trayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a x

I

a=+Vaa+bb, oux=±a+va+66. Il en eft

2

ainsi des autres. Mais il faut remarquer que fi dans ce dernier exemple, & dans les semblables, bb a le signe

I

& que 6 furpaffe a, la valeur de x fera imagi

2

naire; car puisque la quantité aa-bb qui eft fous

4

le figne radical, est alors negative-aa-lb fera une

4

quantité imaginaire ; & par consequent auffi+a+

2

vaa-bb: car une quantité imaginaire étant combi

4

née de quelque maniere que ce soit avec une quantité réelle, rend le tout imaginaire.

4. On connoît la nature d'un Problême déterminé par le plus haut degré, ou ce qui est la même chose par la plus haute puissance de l'inconnue, qui se trouve dans l'équation qui sert à le réfoudre, en supposant que cette équation foit réduite à fon expreffion la plus simple. De forte que lorsqu'en resolvant un Problême, on vient à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimension: comme x==", qui est une équation du premier degré,

ab

C

le Problême est appellé simple.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux dimensions : comme xx=ax+bb, qui est une équation du second degré, le Problême est nommé plan.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois ou quatre dimensions, comme x=aab, oux* =ab, qui font des équations du troifiéme & du quatriéme degré, le Problême est nommé folide.

Lorsqu'on vient à une équation où l'inconnue est élevée au-delà du quatriéme degré, le Problême est nommė lineaire,

5. Quand une équation déterminée a tous ses termes, le nombre en est plus grand de l'unité, que l'exposant de la plus haute puissance de la lettre inconnue qu'elle

B

renferme. Ainsi une équation du second degré ne peut avoir que trois termes; une équation du troifiéme degré, n'en peut avoir que quatre; une du quatrième, cinq; & ainsi des autres. Mais il y manque souvent quelqu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plufieurs, & quelquefois ils y manquent tous.

Le premier terme d'une équation, est celui où l'inconnue est élevée à une puissance plus haute que dans tout autre terme. Le second, est celui où elle est moins élevée d'une dimension. Le troisième, celui où elle est moins élevée de deux dimensions; & ainsi de suite. Le dernier, est celui où elle ne se trouve point du tout.

Mais il faut remarquer qu'il se rencontre souvent dans une équation des termes complexes, ou composez de plusieurs quantitez Algebriques, jointes ensemble par + ou par -, qui font ceux où l'inconnue se trouve élevée à la même puissance, ou bien ceux où elle ne se trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx - bxx+ cxx, ou abb-bcc+d', ne doivent être regardées que comme un feul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équation seul dans le premier membre, & tous les autres dans le second, felon leur ordre; ou bien on les égale tous à zero, en les écrivans tous dans le premier membre de l'équation, felon leur ordre; & en écrivant o seul dans le deuxième, en observant que le premier foit toujours fimple, & délivré de toute quantité connue, comme on voit dans l'équation suivante.

DES EQUATIONS INDETERMINE'E S. III. L ES équations où il se rencontre deux lettres inconnues, qu'on appelle auffi équations locales, servent

à construire les Problêmesindéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une fervent à construire les Problèmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues; en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre. C'est pourquoi on eft obligé d'assigner à l'une des deux, une valeur arbitraire; & la regardant ensuite comme donnée, on pourra connoitre la valeur de l'autre.

Et comme on peut assigner à la même inconnue une infinité de valeurs l'une aprés l'autre, l'autre inconnue en pourra aussi avoir une infinité. Mais en donnant ainfi differentes valeurs à une des inconnues d'une équation, on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée; & par consequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l'Article précedent des équations déterminées. En effet, refoudre, ou plutôt construire un Problême indéterminé, c'est construire une infinité de fois un Problême déterminé.

REMARQUE.

1. Les valeurs arbitraires que l'on affigne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent souvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et fi elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, feront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x=b-y, toutes les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée b, autrement celles de x seroient negatives; ce qui est évident. Si l'on fait y = 0, l'on aura x=b; & fi l'on fait y=b, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x=b-b=0. Dans cette équation xx=ал ал - уу, les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y, ne doivent point exceder la grandeur donnée a : car autrement les valeurs de x feroient imaginaires, puisque tout le second membre de l'équation feroit negatif. Si l'on fait y=a, l'on aura xx=aa-aa=0. & fi l'on faifoit y=0, l'on auroit xx=aa; donc x = + a. Mais dans cette équation ax=by, on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y: car x aura toujours une valeur positive, à moins que l'on ne facey=0, auquel cas l'on aura ax=, ou x=o=o. THEOREME.

A

2. SI l'on assigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, où elles ne font multipliées ni par elles - mèmes, ni entrelles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite.

DE'MONSTRATION.

So I T l'équation ay=bx, en la reduisant en Analogie l'on a a. b:: x. y;soit presentement une ligne droite AH, dont le point A foit fixe; & ayant pris sur AH l'intervalFIG. 3. le AB égal à la ligne donnéea, mené par le point B, la ligne BC égale à la ligne donnée b, qui fasse avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AC indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris fur AH un point quelconque D, mené DE parallele à BC; & nommé AD, x ; & DE, y; l'on aura toujours a. b :: x. y, en quelqu'endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui est la même chose, quelque grandeur arbitraire que l'on affigne à l'inconnue x, celle dey sera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que la ligne AG est lieu qui renferme tous les points qui fatisferont au Problême, qui doit être resolu par l'équation proposée ay=bx C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

3. S 1 l'équation proposée étoit déterminée, comme ay =bc, ce feroit toujours la même chose, excepté que la