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en general de x?=a? (p.fignifie un nombre pair quelconque) l'on tire x=a: ce qui fe prouve comme on vient de faire, en élevant l'un & l'autre membre à la puif fance paire p; car l'on aura toûjours x ? =✦ a ?.

Si l'un des termes eft pofitif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue feront imaginaires: car on n'aura jamais le figne de aprés avoir élevé une quantité négative à une puiffance paire: par exemple-a élevé à une puiffance paire donnera toujours +, & jamais

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que

3

Si l'expofant de l'inconnue eft un nombre impair, l'inconnue n'aura qu'une racine réelle qui eft pofitive, lorfles deux termes des équations font pofitifs, negative lorfqu'un d'eux eft negatif, toutes les autres racines font imaginaires : par exemple, de x'=a', on tire x=a,& non pas x=-a, & de x3 =—a, on tire x =—a & non pas xa, car le cube d'une grandeur pofitive eft toûjours pofitif, & celui d'une quantité negative eft toûjours negatif. Et en general de x 1=+a (q fignifie un nombre impair) on tire x=+a; de même,de x9=-aq on tire x=-a: cara élevé à une puiffance impaire q donne+a: & a élevé à une puiffance impaire q don ne toujours —aa.

:

On fera les mêmes raisonnemens fur les équations compofées par exemple xx= aa ✦bb donne x=± Yaabb, xx=aa—bb donne x =±√ a a−bb: mais en ce cas fi b furpasse a, les deux valeurs de x font imaginaixx=±ax+bb donne x=±—a±vLaabb:car en transposant l'on a xxax=bb; & ajoûtant—aa de part & d'autre pour rendre le premier membre quar ré, l'on aura xx+x+. Laabb; donc en ex

res.

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4

4

4

trayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a x≈

—a—±V Laabb, ou x=±‡a±V÷aabb. Il en est

ainfi

ainfi des autres. Mais il faut remarquer que fi dans ce dernier exemple, & dans les femblables,`bb a le figne

b

de —, & que 6 surpassea, la valeur de x sera imagi

I

naire; car puifque la quantité aa-bb qui eft fous

le figne radical, est alors negative Vaa-lb sera une quantité imaginaire ; & par consequent auffi±a± Vaa-bb: car une quantité imaginaire étant combinée de quelque maniere que ce foit avec une quantité réelle, rend le tout imaginaire.

4

4. On connoît la nature d'un Problême déterminé par le plus haut degré, ou ce qui eft la même chose, par la plus haute puiffance de l'inconnue, qui se trouve dans l'équation qui fert à le réfoudre, en fuppofant que cette équation foit réduite à fon expreffion la plus fimple. De forte que lorfqu'en refolvant un Problême, on vient à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimenfion: comme x= qui est une équation du premier degré,

ab

C

le Problême eft appellé fimple.

Lorfqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux dimensions: comme xx=ax+bb, qui eft une équation du second degré, le Problême eft nommé plan.

Lorfqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois ou quatre dimenfions, comme x=aab, ou x = a›b, qui font des équations du troifiéme & du quatriéme degré, le Problême eft nommé folide.

Lorsqu'on vient à une équation où l'inconnue eft élevée au-delà du quatrième degré, le Problême eft nommé lineaire,

5. Quand une équation déterminée a tous fes termes, le nombre en eft plus grand de l'unité, que l'expofant de la plus haute puiffance de la lettre inconnue qu'elle

B

renferme. Ainfi une équation du fecond degré ne peut avoir que trois termes; une équation du troifiéme degré, n'en peut avoir que quatre; une du quatrième, cinq; & ainfi des autres. Mais il y manque fouvent quelqu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plufieurs, & quelquefois ils y manquent tous.

Le premier terme d'une équation, eft celui où l'inconnue eft élevée à une puiflance plus haute que dans tout autre terme. Le fecond, eft celui où elle eft moins élevée d'une dimenfion. Le troisième, celui où elle est moins élevée de deux dimensions ; & ainfi de fuite. Le dernier, eft celui où elle ne fe trouve point du tout.

Mais il faut remarquer qu'il fe rencontre fouvent dans une équation des termes complexes, ou compofez de plufieurs quantitez Algebriques, jointes enfemble par + ou par,qui font ceux où l'inconnue fe trouve éléyée à la même puiffance, ou bien ceux où elle ne fe trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx-bxx+ cxx, ou abb―bcc+d', ne doivent être regardées que comme un feul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équation feul dans le premier membre, & tous les autres dans le fecond, felon leur ordre, ou bien on les égale tous à zero, en les écrivans tous dans le premier membre de l'équation, felon leur ordre; & en écrivant o feul dans le deuxième, en obfervant que le premier foit toujours fimple, & délivré de toute quantité connue, comme on voit dans l'équation fuivante.

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DES EQUATIONS INDETERMINE'E S.

III. Les équations où il fe rencontre deux lettres inconnues, qu'on appelle auffi équations locales, fervent

à construire les Problêmes indéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une fervent à construire les Problêmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues; en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre. C'eft pourquoi on eft obligé d'affigner à l'une des deux, une valeur arbitraire; & la regardant enfuite comme donnée, on pourra connoitre la valeur de l'autre.

Et comme on peut affigner à la même inconnue une infinité de valeurs l'une aprés l'autre, l'autre inconnue en pourra auffi avoir une infinité. Mais en donnant ainsi differentes valeurs à une des inconnues d'une équation, on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée; & par confequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l'Article précedent des équations déterminées. En effet,refoudre, ou plûtôt conftruire un Problême indéterminé, c'eft conftruire une infinité de fois un Problême déterminé.

ES

REMARQUE.

1. Les valeurs arbitraires que l'on affigne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent fouvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et fi elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, feront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x=b-y, toutes les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée b, autrement celles de x feroient negatives; ce qui eft évident. Si l'on fait y =0, l'on aura x=b; & fi l'on fait y=b, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x=b-bo. Dans cette équation xx=aa-yy, les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y,ne doivent point exceder la grandeur donnée a car autrement les valeurs de x feroient imaginaires, puifque tout le fecond membre de l'équation feroit negatif. Si l'on fait y=a,

l'on aura

xx=aa—aa=0.& fi l'on faifoit y=o, l'on auroit xx= aa; donc xa. Mais dans cette équation ax=by,on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y : car x aura toujours une valeur pofitive, à moins que l'on ne face yo, auquel cas l'on aura ax=, ou x=0

2.

A

THEOREM E.

SI I l'on affigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, où elles ne font multipliées ni par elles-mèmes, ni entrelles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correfpondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite.

SOIT

DE'MONSTRATION.

O IT l'équation ay=bx, en la reduifant en Analogie l'on a a.b:: x. y,foit prefentement une ligne droite AH, dont le point A foit fixe; & ayant pris fur AH l'intervalFIG. 3. le AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B, la ligne BC égale à la ligne donnée b, qui faffe avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AC indéfiniment prolongée. Il eft clair qu'ayant pris fur AH un point quelconque D, mené DE parallelê à BC; & nommé AD, x; & DE, y; l'on aura toujours a. b :: x. y, en quelqu'endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui eft la même chofe, quelque grandeur arbitraire que l'on affigne à l'inconnue x, celle dey fera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que la ligne AG eft lieu qui renferme tous les points qui fatisferont au Problême, qui doit être refolu par l'équation propofée ay=bx C. Q. F. D.

3. S1

COROLLAIRE.

I l'équation propofée étoit déterminée, comme ay =be, ce feroit toujours la même chofe, excepté que la

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