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m

ver abà la puissance m, l'on écrit ab. m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, positifou négatif. 33. Il eft clair que pour élever une puiffance quelconque d'un polynome, formée comme on vient de dire, à une puiffance donnée, il n'y a qu'à multiplier l'expofant de l'une par l'expofant de l'autre. Ainfi pour élever at b'à la 3 puiffance, l'on écrira a+b2 3 a a+b2. pour élever a+bau quarré, ou à la 2 puiffance, l'on écrira a+¿1”. Pour élever a+6" à la puiffance n, l'on Il en eft ainfi des autres.

écrira a+b

2m

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m

m

34. Il est encore évident que pour multiplier deux puiffances de la même quantité complexe, formées comme on a dit no. 32. il n'y a qu'à ajouter ensemble leurs pofans. Ainfi pour multiplier a+para+b, l'on écri ra ab = a + b2;

a+b

23

-S

=

-m

2

a+b. -c xa+b - C

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m

ja + b xa+ b =a+b ia+b x

-m+n

a

a+bm

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Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.

REGLE GENERALE.

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35. ON écrira le diviseur au deffous du dividende en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le quotient de la divifion. En effet, puifque toute division numerique exprimée, comme on vient de dire,eft égale à son quotient, par exemple 12 3 i 5, & quelle peut par confequent être prife pour fon quotient; il en doit être de même des divifions algebriques. Ainfi pour divifer ab pare, ab l'on écrira

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36. Mais comme il est toujours neceffaire de réduiré les quantitez algebriques à leurs plus fimples expreffions lorfqu'il eft poffible, & que les divifions, ou fractions dont on vient de parler, n'y font pas toujours réduites, il faut donner les regles neceffaires pour cet effet.

Il y a differentes manieres, ou plûtôt, il y a des cas où il faut operer d'une certaine maniere ; d'autres, où il faut operer d'une autre maniere pour réduire les fractions ou les divifions à leurs plus fimples termes. Nous ne donnerons à prefent que le cas où l'operation eft celle qu'on a toujours nommée divifion; les autres fe trous veront ailleurs.

DIVISION

Des quantitez incomplexes. 37. Il est évident(no.14 & 5) que lorfque le dividende est le produit du divifeur par une autre quantité quelconque, le quotient fera le dividende, aprés en avoir effacé le diviseur. Ainfi le quotient de ab divifé par a eft b, c'est-à-dire que ab

= b; le quotient de abc divifé par

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Il y a fouvent des nombres autres que l'unité qui précedent ou le dividende,ou le divifeur,& quelquefois tous les deux. Il faut auffi avoir égard aux fignes. Voici la regle qu'il faut obferver.

38. On divifera par les regles de la divifion numerique, le nombre qui précede le dividende par celui qui précede le divifeur, & (no. 37 ), les lettres du dividende par celles du divifeur, & l'on donnera au quotient le figne+ file dividende & le divifeur ont tous deux le même figne + ou - ; & fi l'un a+ & l'autre, l'on donnera

au quotient le figne —. Ainfi le quotient de 12ab par za

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12ab

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4b.

за

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De même 12abc-3b;
-3b; — 15a3bb

-4ac

zaab

4aab. Il en eft ainsi des autres.

-zab

39. Si le dividende & le diviseur font semblables, &

égaux, le quotient sera l'unité. Ainfi —=1; SI,

12ab 12ab

Ce qui fuit de ce que toute quantité se mesure, ou fe contient elle même une fois.

40. Il arrive souvent que les nombres se peuvent divifer, & que les lettres ne fe peuvent pas divifer; & au contraire, auquel cas il faut divifer ce qui fe peut divifer, & laiffer le refte en fraction. Ainfi

Izab
36

4ab

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41. Lorfque niles nombres, ni les lettres ne fe peuvent divifer, on écrit le diviseur au deffous du dividende en forme de fraction; & c'eft en ce cas qu'il eft neceffaire de prendre cette fraction pour le quotient de la division. Ainsi pour diviser a parb, l'on écrira; pour di

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·sab. ou ; pour diviser —4ab par—3c, l'on

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écrira 46, ou 446, On trouvera ailleurs la raison des

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4ab
за

changemens de fignes que l'on vient de faire.

Si l'on multiplie le quotient d'une divifion par le divifeur, il viendra la quantité à divifer: car la multiplication, & la divifion ont des effets contraires, auffi-bien que l'addition & la fouftraction.

42. Il eft clair ( no, 21 & 37 ) que pour divifer une puif

fance

fance quelconque d'une quantité incomplexe par une puiffance quelconque de la même quantité, il n'y a qu'à fouftraire l'expofant du divifeur de l'expofant du divi

-2 3

dende. Ainfi = a3 ́

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a

a3b

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=1, &c.

DIVISION

Des quantitez complexes.

--2

43. LORSQUE le dividende eft le produit du diviseur par quelqu'autre quantité, il eft clair que la divifion fe fera toujours exactement auffi-bien que celle des quan titez incomplexes.

Or il eft fouvent aifé de voir fi une quantité que l'on veut divifer par une autre quantité, eft le produit de la quantité qui doit être le divifeur par une troifiéme quan. tité; & alors le quotient fera cette troisième quantité. Ainfi ax-bx divifée par a-b, donnée au quotient x: bx eft le produit de a- bxx ; & ax — bx didonne au quotient a ab. Pareillement aa— bb, &c.

car ax

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vifée par x,

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Maxx -bbxx aa bb

= xx, &

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aaxx- bbxx

xx

44. Lorfqu'on ne peut pas aifément voir fi une quantité complexe peut être divifée par une autre quantité, complexe, il faut l'examiner par la reglequi fuit, qui est celle qu'on appelle division.

45. Pour faire plus facilement la divifion des quantitez complexes, on examine dans les deux quantitez que l'on veut divifer l'une par l'autre, qu'elle eft la lettre qui fe trouve le plus fréquemment avec des dimenfions differentes; & l'on écrit dans l'une & dans l'autre quantité le terme,où cette lettre a plus de dimensions,le premier, & enfuite les autres termes, felon l'ordre des puif fances de la même lettre. Quelques-uns appellent cette lettre, lettre dominante.

C

N

REGLE.

46. On écrit le diviseur à la gauche du dividende ;” & fuivant les regles de la divifion des quantitez incomple xes,on divife le premier terme du dividende par le premier du divifeur, & l'on écrit le refultat, ou quotient à la droite du dividende. On multiplie tous les termes du diviseur par le quotient ; & l'on fouftrait le produit du dividende, ce qui fe fait (n°. 13) en écrivant le même produit au-deffous du dividende avec des fignes contraires, & on fait enfuite la réduction, en regardant le dividende & ce produit comme une seule quantité.

On divise de nouveau les quantitez qui viennent aprés la réduction par le même divifeur, ce qui donne un nouveau terme au quotient; & on acheve cette feconde operation comme on a fait la premiere. On réïtere encore la même operation autant de fois qu'il eft néceffaire, ou jufqu'à ce que la réduction devienne nulle, ou égale à zero, qui arrive toujours lorsque la quantité à divifer eft le produit du diviseur par une troifiéme quantité, qui eft le quotient de la divifion. Les Exemples éclairciront la regle.

EXEMPLE I.

47. SOIT a3-3aab+3abb — b› à diviser par a—b. Ayant écrit le dividende & le diviseur comme on vient de díre, l'on opere en cette forte en prenant a pour la lettre dominante.

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